Упр.245 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна $$8\ \text{см}$$. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы в $$30^\circ$$ и $$45^\circ$$. Найдите площадь поверхности пирамиды.
Обозначим стороны прямоугольника основания через $$AB=x$$ и $$BC=y$$. Пусть $$BK$$ — высота пирамиды, тогда $$BK\perp ABCD$$.
Плоскости двух боковых граней перпендикулярны основанию, значит их линии пересечения с основанием дают прямые углы, и углы $$\angle KAB$$ и $$\angle KCB$$ являются линейными углами двугранных углов при рёбрах $$AD$$ и $$BC$$ соответственно.
Тогда в прямоугольных треугольниках $$KAB$$ и $$KCB$$ имеем:
$$\tan 30^\circ=\frac{BK}{AB}=\frac{BK}{x},\qquad \tan 45^\circ=\frac{BK}{BC}=\frac{BK}{y}.$$
Так как $$\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}$$ и $$\tan 45^\circ=1$$, то
$$BK=\frac{x}{\sqrt{3}},\qquad BK=y,$$
следовательно, $$x=\sqrt{3}\,y$$.
По условию диагональ прямоугольника $$BD=8$$ см, значит
$$BD^2=AB^2+BC^2,$$
$$64=x^2+y^2=(\sqrt{3}\,y)^2+y^2=3y^2+y^2=4y^2.$$
Отсюда
$$y=4,\qquad x=4\sqrt{3},\qquad BK=4.$$
Найдём площади боковых граней.
В треугольнике $$KAB$$:
$$KA=\sqrt{AB^2+BK^2}=\sqrt{48+16}=8,$$
$$S_{KAB}=\frac12\cdot AB\cdot BK=\frac12\cdot 4\sqrt{3}\cdot 4=8\sqrt{3}.$$
В треугольнике $$KCB$$:
$$KC=\sqrt{BC^2+BK^2}=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2},$$
$$S_{KBC}=\frac12\cdot BC\cdot BK=\frac12\cdot 4\cdot 4=8.$$
В треугольнике $$KCD$$:
$$S_{KCD}=\frac12\cdot CD\cdot KC=\frac12\cdot 4\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{2}=8\sqrt{6}.$$
В треугольнике $$KAD$$:
$$S_{KAD}=\frac12\cdot AD\cdot KA=\frac12\cdot 4\cdot 8=16.$$
Площадь основания:
$$S_{ABCD}=AB\cdot BC=4\sqrt{3}\cdot 4=16\sqrt{3}.$$
Тогда полная площадь поверхности пирамиды равна
$$S= S_{ABCD}+S_{KAB}+S_{KBC}+S_{KCD}+S_{KAD}$$
$$=16\sqrt{3}+8\sqrt{3}+8+8\sqrt{6}+16$$
$$=24+24\sqrt{3}+8\sqrt{6}.$$
Ответ: $$24+24\sqrt{3}+8\sqrt{6}\ \text{см}^2$$.
