Упр.244 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основанием пирамиды $$DABC$$ является прямоугольный треугольник $$ABC$$, у которого гипотенуза $$AB$$ равна $$29\ см$$, а катет $$AC$$ равен $$21\ см$$. Боковое ребро $$DA$$ перпендикулярно к плоскости основания и равно $$20\ см$$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Подробный ответ

Так как $$DA \perp (ABC)$$, то отрезок $$DA$$ перпендикулярен любой прямой плоскости основания, проходящей через точку $$A$$. Значит, треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$ прямоугольные. Кроме того, треугольник $$ABC$$ прямоугольный, так как $$\angle ACB=90^\circ$$.

Найдём второй катет основания:

$$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{29^2-21^2}=\sqrt{841-441}=\sqrt{400}=20\text{ см}.$$

Теперь найдём боковые грани пирамиды.

$$S_{ABD}=\frac12\cdot AD\cdot AB=\frac12\cdot 20\cdot 29=290\text{ см}^2,$$

$$S_{ACD}=\frac12\cdot AD\cdot AC=\frac12\cdot 20\cdot 21=210\text{ см}^2,$$

$$S_{BCD}=\frac12\cdot BC\cdot CD,$$

где

$$CD=\sqrt{AC^2+AD^2}=\sqrt{21^2+20^2}=\sqrt{441+400}=\sqrt{841}=29\text{ см}.$$

Тогда

$$S_{BCD}=\frac12\cdot 20\cdot 29=290\text{ см}^2.$$

Сумма площадей боковых граней:

$$S_{\text{бок}}=S_{ABD}+S_{ACD}+S_{BCD}=290+210+290=790\text{ см}^2.$$