Упр.243 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основанием пирамиды $$DABC$$ является треугольник $$ABC$$, у которого $$AB=AC=13\text{ см}$$, $$BC=10\text{ см}$$; ребро $$AD$$ перпендикулярно к плоскости основания и равно $$9\text{ см}$$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Подробный ответ

Так как $$AD \perp (ABC),$$ то треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$ прямоугольные при $$A.$$

Найдём боковые рёбра:

$$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{13^2+9^2}=\sqrt{169+81}=\sqrt{250}=5\sqrt{10},$$

$$CD=\sqrt{AC^2+AD^2}=\sqrt{13^2+9^2}=\sqrt{250}=5\sqrt{10}.$$

Площадь боковой грани $$ABD$$:

$$S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot 9=\frac{117}{2}.$$

Аналогично

$$S_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AD=\frac{117}{2}.$$

Теперь найдём площадь грани $$BCD.$$ По формуле Герона для треугольника со сторонами $$BC=10,$$ $$BD=CD=5\sqrt{10}$$ имеем:

$$p=\frac{BC+BD+CD}{2}=\frac{10+5\sqrt{10}+5\sqrt{10}}{2}=5+5\sqrt{10}.$$

$$S_{BCD}=\sqrt{p(p-BC)(p-BD)(p-CD)}$$
$$=\sqrt{(5+5\sqrt{10})\cdot(5\sqrt{10}-5)\cdot 5\cdot 5} =\sqrt{5625}=75.$$

Тогда площадь боковой поверхности пирамиды: