Упр.242 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых рёбер перпендикулярно к плоскости основания. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонена к плоскости основания под углом 45°. Наибольшее боковое ребро равно 12 см. Найдите: а) высоту пирамиды; б) площадь боковой поверхности пирамиды.

Подробный ответ

Обозначим сторону квадрата основания через $$a$$. Так как одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания, то это ребро и есть высота пирамиды. Пусть $$BK$$ — высота пирамиды, тогда $$BK \perp ABCD$$.

Плоскость боковой грани $$KAD$$ наклонена к плоскости основания под углом $$45^\circ$$, значит линейный угол двугранного угла при ребре $$AD$$ равен $$45^\circ$$. В основании квадрата $$AB \perp AD$$, поэтому угол между прямой $$AK$$ и её проекцией $$AB$$ равен $$45^\circ$$. Следовательно, в прямоугольном треугольнике $$ABK$$

$$\tan \angle KAB=\frac{BK}{AB}=1,$$

откуда

$$BK=AB=a.$$

Наибольшее боковое ребро — это $$KD$$, так как его проекция $$BD$$ на основание больше, чем проекции остальных боковых рёбер. По условию $$KD=12$$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$KBD$$. В квадрате

$$BD=a\sqrt{2}.$$

По теореме Пифагора:

$$KD^2=BK^2+BD^2$$

$$12^2=a^2+(a\sqrt{2})^2=a^2+2a^2=3a^2.$$

Тогда

$$a^2=48,\qquad a=4\sqrt{3}.$$

Значит, высота пирамиды

$$h=BK=4\sqrt{3}\text{ см}.$$

Найдём площадь боковой поверхности. Она состоит из четырёх треугольников: $$\triangle ABK$$, $$\triangle BCK$$, $$\triangle CDK$$ и $$\triangle DAK$$.

Площади двух треугольников с основанием $$a$$ равны:

$$S_{ABK}=S_{BCK}=\frac12\cdot a\cdot BK=\frac12 a^2.$$

Площади двух треугольников с основанием $$a\sqrt2$$ равны:

$$S_{CDK}=S_{DAK}=\frac12\cdot a\sqrt2\cdot BK=\frac{\sqrt2}{2}a^2.$$

Тогда

$$S_{\text{бок}}=2\cdot \frac12 a^2+2\cdot \frac{\sqrt2}{2}a^2 =a^2(1+\sqrt2).$$

Подставим $$a^2=48$$:

$$S_{\text{бок}}=48(1+\sqrt2)\text{ см}^2.$$