Упр.242 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонена к плоскости основания под углом 45°. Наибольшее боковое ребро равно 12 см. Найдите: а) высоту пирамиды; б) площадь боковой поверхности пирамиды.

Подробный ответ

Обозначим вершину пирамиды через $$K$$, а основание — квадрат $$ABCD$$. Так как одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания, то $$BK \perp (ABCD)$$, значит $$BK$$ — высота пирамиды.

Плоскость боковой грани $$KAD$$ наклонена к плоскости основания под углом $$45^\circ$$. Следовательно, линейный угол двугранного угла между этими плоскостями равен $$\angle KAB=45^\circ$$.

Обозначим сторону квадрата через $$x$$. Тогда

$$BD=x\sqrt{2}$$

так как $$BD$$ — диагональ квадрата.

В прямоугольном треугольнике $$KAB$$ имеем

$$\tan \angle KAB=\frac{BK}{AB}$$

откуда

$$\tan 45^\circ=\frac{BK}{x}$$

$$BK=x.$$

По условию наибольшее боковое ребро равно $$12$$ см. Наибольшим является ребро, у которого наибольшая проекция на основание; это ребро $$KD$$, так как его проекция $$BD$$ — диагональ квадрата. Значит,

$$KD=12$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$KBD$$:

$$KD^2=BK^2+BD^2$$

$$12^2=x^2+(x\sqrt{2})^2$$

$$144=x^2+2x^2=3x^2$$

$$x^2=48,\qquad x=4\sqrt{3}.$$

Следовательно, высота пирамиды

$$BK=4\sqrt{3}\text{ см}.$$

Теперь найдём площадь боковой поверхности. Она состоит из площадей четырёх треугольников:

$$S_{\text{бок}}=S_{KAB}+S_{KBC}+S_{KCD}+S_{KDA}.$$

Так как $$BK\perp (ABCD)$$, то треугольники $$KAB$$ и $$KBC$$ прямоугольные при $$B$$:

$$S_{KAB}=\frac12\cdot AB\cdot BK=\frac12\cdot x\cdot x=\frac{x^2}{2},$$

$$S_{KBC}=\frac12\cdot BC\cdot BK=\frac{x^2}{2}.$$

Для треугольников $$KCD$$ и $$KDA$$ возьмём высоту из точки $$K$$ к сторонам $$CD$$ и $$AD$$. Расстояние от точки $$B$$ до прямых $$CD$$ и $$AD$$ в квадрате равно соответственно $$AB=x$$ и $$BC=x$$, поэтому

$$S_{KCD}=S_{KDA}=\frac12\cdot x\cdot BK=\frac{x^2\sqrt{2}}{2}.$$

Тогда

$$ S_{\text{бок}}=2\cdot \frac{x^2}{2}+2\cdot \frac{x^2\sqrt{2}}{2} =x^2(1+\sqrt{2}). $$

Подставим $$x^2=48$$:

$$S_{\text{бок}}=48(1+\sqrt{2})\text{ см}^2.$$