Упр.241 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Основание пирамиды — параллелограмм $$ABCD$$, поэтому его диагонали пересекаются и делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей через $$O$$. Тогда $$OK \perp (ABCD)$$ и $$OK=2$$ м.
Найдём площадь основания. В параллелограмме со сторонами $$5$$ м и $$4$$ м и меньшей диагональю $$3$$ м рассмотрим треугольник $$BCD$$. По теореме косинусов или по свойству диагоналей параллелограмма получаем, что диагональ $$BD=3$$ м, а площадь параллелограмма равна
$$S_{ABCD}=AB\cdot BC\cdot \sin \angle ABC.$$
Удобнее найти её через диагональ. Так как диагонали параллелограмма делятся пополам, то площадь треугольника $$BCD$$ равна четверти площади параллелограмма:
$$S_{BCD}=\frac14 S_{ABCD}.$$
С другой стороны, в треугольнике $$BCD$$ стороны $$BC=4$$ м и $$BD=3$$ м, а угол между ними прямой, значит
$$S_{BCD}=\frac12\cdot BC\cdot BD=\frac12\cdot 4\cdot 3=6\ \text{м}^2.$$
Тогда
$$S_{ABCD}=4\cdot S_{BCD}=24\ \text{м}^2.$$
Теперь найдём боковые грани. Так как высота пирамиды проходит через центр параллелограмма, расстояния от точки $$O$$ до противоположных сторон равны. Обозначим через $$h_1$$ расстояние от $$O$$ до стороны $$BC$$, а через $$h_2$$ — расстояние от $$O$$ до стороны $$AB$$.
Для треугольника $$OBC$$:
$$S_{OBC}=\frac12\cdot BC\cdot h_1.$$
Поскольку $$S_{OBC}=\frac14 S_{ABCD}=6\ \text{м}^2$$, получаем
$$6=\frac12\cdot 4\cdot h_1,$$
откуда
$$h_1=3\ \text{м}.$$
Тогда высота боковой грани к стороне $$BC$$ равна
$$KH=\sqrt{OK^2+h_1^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\ \text{м}.$$
Следовательно, площадь одной боковой грани
$$S_{KBC}=\frac12\cdot BC\cdot KH=\frac12\cdot 4\cdot \sqrt{13}=2\sqrt{13}\ \text{м}^2.$$
Аналогично для стороны $$AB$$ получаем такую же площадь второй пары боковых граней:
$$S_{KAB}=S_{KCD}=2\sqrt{13}\ \text{м}^2.$$
Итак, полная поверхность пирамиды равна
$$S_{\text{полн}}=S_{ABCD}+S_{KAB}+S_{KBC}+S_{KCD}+S_{KDA}$$
$$S_{\text{полн}}=24+2\cdot 2\sqrt{13}=24+4\sqrt{13}\ \text{м}^2.$$
Ответ: $$24+4\sqrt{13}\ \text{м}^2$$.
