Упр.240 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны $$20\ \text{см}$$ и $$36\ \text{см}$$, а площадь равна $$360\ \text{см}^2$$. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна $$12\ \text{см}$$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Площадь основания параллелограмма равна $$S_{ABCD}=360\text{ см}^2.$$ Тогда площадь каждой половины основания:
$$S_{ABC}=S_{ADC}=\frac{360}{2}=180\text{ см}^2.$$
Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма, а $$H$$ и $$M$$ — основания перпендикуляров из точки $$O$$ на стороны $$BC$$ и $$AB$$ соответственно. Тогда в параллелограмме диагонали делят его на четыре равновеликие треугольника, значит
$$S_{OBC}=S_{OAB}=90\text{ см}^2.$$
Из формулы площади треугольника получаем:
$$S_{OBC}=\frac12\cdot OH\cdot BC,$$
откуда
$$90=\frac12\cdot OH\cdot 36,\qquad OH=5\text{ см}.$$
Аналогично
$$90=\frac12\cdot OM\cdot AB,\qquad OM=9\text{ см}.$$
Так как высота пирамиды $$OK=12\text{ см},$$ то в прямоугольных треугольниках $$KOH$$ и $$KOM$$ по теореме Пифагора находим высоты боковых граней:
$$KH=\sqrt{OK^2+OH^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13\text{ см},$$
$$KM=\sqrt{OK^2+OM^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{225}=15\text{ см}.$$
Теперь найдём площади боковых граней:
$$S_{KBC}=\frac12\cdot BC\cdot KH=\frac12\cdot 36\cdot 13=234\text{ см}^2,$$
$$S_{KCD}=S_{KBC}=234\text{ см}^2,$$
$$S_{KAB}=\frac12\cdot AB\cdot KM=\frac12\cdot 20\cdot 15=150\text{ см}^2,$$
$$S_{KDA}=S_{KAB}=150\text{ см}^2.$$
Тогда площадь боковой поверхности пирамиды:
$$S_{\text{бок}}=234+234+150+150=768\text{ см}^2.$$
Ответ: $$768\text{ см}^2.$$
