Упр.240 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360 см2. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей основания, а $K$ — вершина пирамиды. Тогда $$OK \perp ABCD,\quad OK=12\text{ см}.$$
Основание $ABCD$ — параллелограмм, значит его диагонали делят его на четыре равновеликие треугольника. Поэтому
$$S_{OBC}=S_{OCD}=S_{ODA}=S_{OAB}=\frac{S_{ABCD}}{4}=\frac{360}{4}=90\text{ см}^2.$$
Найдём высоты этих треугольников к соответствующим сторонам.
Для треугольника $OBC$:
$$S_{OBC}=\frac12\cdot OH\cdot BC,$$
где $H$ — основание перпендикуляра из $O$ на $BC$. Тогда
$$90=\frac12\cdot OH\cdot 36,$$
откуда
$$OH=5\text{ см}.$$
В прямоугольном треугольнике $KOH$:
$$KH=\sqrt{OK^2+OH^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13\text{ см}.$$
По теореме о трёх перпендикулярах $KH \perp BC$, значит площадь боковой грани $KBC$ равна
$$S_{KBC}=\frac12\cdot KH\cdot BC=\frac12\cdot 13\cdot 36=234\text{ см}^2.$$
Аналогично получаем
$$S_{KAD}=234\text{ см}^2.$$
Теперь рассмотрим треугольник $OAB$:
$$S_{OAB}=\frac12\cdot h_{OAB}\cdot AB,$$
где $h_{OAB}$ — высота из $O$ на $AB$. Тогда
$$90=\frac12\cdot h_{OAB}\cdot 20,$$
откуда
$$h_{OAB}=9\text{ см}.$$
В прямоугольном треугольнике с катетами $OK$ и $h_{OAB}$ получаем высоту боковой грани к стороне $AB$:
$$h_{KAB}=\sqrt{OK^2+h_{OAB}^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{225}=15\text{ см}.$$
Тогда
$$S_{KAB}=\frac12\cdot AB\cdot h_{KAB}=\frac12\cdot 20\cdot 15=150\text{ см}^2.$$
По аналогии
$$S_{KCD}=150\text{ см}^2.$$
Сумма площадей всех боковых граней:
$$S_{\text{бок}}=S_{KAB}+S_{KBC}+S_{KCD}+S_{KDA}=150+234+150+234=768\text{ см}^2.$$
Ответ
$$768\text{ см}^2$$