Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.24 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Прямая касается окружностей радиусов $$R$$ и $$r$$ в точках $$A$$ и $$B$$. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно $$a$$, причём $$r<R$$ и $$r+R<a$$. Найдите $$AB$$.

Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ — центры окружностей, а $$P$$ — точка пересечения прямой с перпендикуляром к ней, проведённым через центры. Тогда $$O_1O_2=a,\quad O_1A=R,\quad O_2B=r.$$

Рассмотрим два возможных случая.

1. Точки касания лежат по одну сторону от перпендикуляра к прямой. Тогда в прямоугольном треугольнике $$ABP$$ имеем

   $$BP=a,\qquad AP=O_1A-O_2B=R-r.$$

   По теореме Пифагора

   $$AB=\sqrt{BP^2-AP^2}=\sqrt{a^2-(R-r)^2}.$$

2. Точки касания лежат по разные стороны от перпендикуляра к прямой. Тогда

   $$BP=a,\qquad AP=O_1A+O_2B=R+r.$$

   По теореме Пифагора

   $$AB=\sqrt{BP^2-AP^2}=\sqrt{a^2-(R+r)^2}.$$

Ответ: $$\sqrt{a^2-(R-r)^2}$$ или $$\sqrt{a^2-(R+r)^2}$$.