Упр.239 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна $$5\text{ см}$$, а одна из диагоналей равна $$8\text{ см}$$. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота её проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна $$7\text{ см}$$.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей ромба, а $$K$$ — вершина пирамиды. Тогда $$OK \perp ABCD$$ и $$OK=7$$ см.

В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому

$$AO=OC=\frac{AC}{2}=\frac{8}{2}=4\text{ см}.$$

Из прямоугольного треугольника $$AOB$$ находим вторую диагональ:

$$AB^2=AO^2+BO^2,$$

$$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $$AOK$$, $$BOK$$, $$COK$$ и $$DOK$$.

Тогда

$$AK=\sqrt{OK^2+AO^2}=\sqrt{7^2+4^2}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}\text{ см},$$

$$CK=\sqrt{OK^2+OC^2}=\sqrt{7^2+4^2}=\sqrt{65}\text{ см},$$

$$BK=\sqrt{OK^2+BO^2}=\sqrt{7^2+3^2}=\sqrt{49+9}=\sqrt{58}\text{ см},$$