Упр.235 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с острым углом ф. Через катет, противолежащий этому углу, и через противоположную этому катету вершину основания проведено сечение, составляющее угол 0 с плоскостью основания. Найдите отношение площади боковой поверхности призмы к площади сечения.

Подробный ответ

Обозначим катеты основания прямоугольного треугольника $$ABC$$ так: $$AC=x$$, $$BC=y$$, а высоту призмы — $$AA_1=h$$. Тогда боковая поверхность прямой призмы равна

$$S_{\text{бок}}=P_{ABC}\cdot h=(x+y+\sqrt{x^2+y^2})h.$$

Так как $$\angle ACB=\varphi$$, то в прямоугольном треугольнике $$ABC$$

$$\tan\varphi=\frac{AB}{AC}, \qquad \sin\varphi=\frac{AB}{BC}, \qquad \cos\varphi=\frac{AC}{BC}.$$

Удобно выразить стороны через $$x=AC$$ и угол $$\varphi$$:

$$AB=x\tan\varphi,\qquad BC=\frac{x}{\cos\varphi}.$$

Тогда

$$P_{ABC}=x+x\tan\varphi+\frac{x}{\cos\varphi}=x\left(1+\tan\varphi+\frac{1}{\cos\varphi}\right).$$

Площадь сечения найдём через основание $$AB$$ и высоту этого сечения к прямой $$AB$$. Поскольку плоскость сечения образует с плоскостью основания угол $$\theta$$, а линия их пересечения — $$AB$$, то высота сечения равна

$$h_{\text{сеч}}=\frac{h}{\sin\theta}.$$

Кроме того, в основании

$$AB=x\tan\varphi.$$

Следовательно,

$$S_{\text{сеч}}=\frac12\cdot AB\cdot h_{\text{сеч}}=\frac12\cdot x\tan\varphi\cdot \frac{h}{\sin\theta}.$$

Теперь найдём отношение:

$$ \frac{S_{\text{бок}}}{S_{\text{сеч}}} = \frac{x\left(1+\tan\varphi+\frac{1}{\cos\varphi}\right)h}{\frac12\cdot x\tan\varphi\cdot \frac{h}{\sin\theta}} = \frac{2\sin\theta}{\tan\varphi}\left(1+\tan\varphi+\frac{1}{\cos\varphi}\right). $$

Преобразуем выражение:

$$ \frac{1}{\tan\varphi}=\frac{\cos\varphi}{\sin\varphi}, \qquad \frac{1}{\tan\varphi\cos\varphi}=\frac{1}{\sin\varphi}. $$

Тогда

$$ \frac{S_{\text{бок}}}{S_{\text{сеч}}} = 2\sin\theta\left(\frac{\cos\varphi}{\sin\varphi}+1+\frac{1}{\sin\varphi}\right) = \frac{2\sin\theta\,(1+\sin\varphi+\cos\varphi)}{\sin\varphi}. $$