Упр.235 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с острым углом $$\varphi$$. Через катет, противолежащий этому углу, и через противоположную этому катету вершину основания проведено сечение, составляющее угол $$\theta$$ с плоскостью основания. Найдите отношение площади боковой поверхности призмы к площади сечения.

Подробный ответ

Обозначим катеты основания прямой призмы через $$AC=x$$ и $$BC=x\tan\varphi,$$ где $$\angle ACB=\varphi.$$ Пусть высота призмы равна $$AA_1=h.$$

Тогда площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту:

$$S_{\text{бок}}=P_{\triangle ABC}\cdot h=(AC+BC+AB)h.$$

Так как $$\triangle ABC$$ прямоугольный, то

$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=x\sqrt{1+\tan^2\varphi}=\frac{x}{\cos\varphi}.$$

Следовательно,

$$S_{\text{бок}}=\left(x+x\tan\varphi+\frac{x}{\cos\varphi}\right)h.$$

Сечение проходит через катет $$AC$$ и вершину $$B_1$$. Его площадь равна

$$S_{\text{сеч}}=\frac12\cdot AC\cdot h_{\text{сеч}}.$$

Линия сечения образует с плоскостью основания угол $$\theta$$, значит высота сечения, опущенная из точки $$B_1$$ на прямую $$AC$$, равна

$$h_{\text{сеч}}=\frac{h}{\sin\theta}.$$

Тогда

$$S_{\text{сеч}}=\frac12\cdot x\cdot \frac{h}{\sin\theta}.$$

Найдём отношение:

$$\frac{S_{\text{бок}}}{S_{\text{сеч}}} = \frac{\left(x+x\tan\varphi+\frac{x}{\cos\varphi}\right)h}{\frac12 x\cdot \frac{h}{\sin\theta}} = 2\sin\theta\left(1+\tan\varphi+\frac{1}{\cos\varphi}\right).$$

Преобразуем выражение в скобках:

$$1+\tan\varphi+\frac{1}{\cos\varphi} = 1+\frac{\sin\varphi+1}{\cos\varphi} = \frac{1+\sin\varphi+\cos\varphi}{\cos\varphi}.$$

Итак,

$$\frac{S_{\text{бок}}}{S_{\text{сеч}}}=\frac{2\sin\theta\,(1+\sin\varphi+\cos\varphi)}{\cos\varphi}.$$