Упр.234 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник. Через середину гипотенузы перпендикулярно к ней проведена плоскость. Найдите площадь сечения, если катеты равны $$20\ \text{см}$$ и $$21\ \text{см}$$, а боковое ребро равно $$42\ \text{см}$$.

Подробный ответ

Пусть $$ABC A_1B_1C_1$$ — прямая призма, $$\angle ABC=90^\circ$$, $$AB=21$$ см, $$BC=20$$ см, $$AA_1=42$$ см. Обозначим через $$D$$ середину гипотенузы $$AC$$, а через $$E$$ — точку пересечения секущей плоскости с ребром $$AB$$.

Так как плоскость проведена через середину гипотенузы перпендикулярно к ней, то в основании она пересекает треугольник $$ABC$$ по отрезку $$DE$$, причём $$DE\perp AC$$. Сечение призмы — прямоугольник $$EE_1D_1D$$, поэтому

$$S_{EE_1D_1D}=DE\cdot AA_1.$$

Найдём $$DE$$.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$ABC$$:

$$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{21^2+20^2}=\sqrt{441+400}=29\text{ см}.$$

Так как $$D$$ — середина гипотенузы, то

$$AD=\frac{AC}{2}=\frac{29}{2}\text{ см}.$$

Треугольники $$ABC$$ и $$ADE$$ подобны: $$\angle ABC=\angle ADE=90^\circ$$, а угол $$A$$ у них общий. Тогда

$$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}.$$

Отсюда

$$DE=\frac{AD\cdot BC}{AB}=\frac{\frac{29}{2}\cdot 20}{21}=\frac{290}{21}\text{ см}.$$

Теперь найдём площадь сечения:

$$S_{EE_1D_1D}=DE\cdot AA_1=\frac{290}{21}\cdot 42=580\text{ см}^2.$$