Упр.233 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом В. Через ребро BB1 проведено сечение BB1D1D, перпендикулярное к плоскости грани AA1C1C. Найдите площадь сечения, если AA1 = 10 см, AD = 27 см, DC = 12 см.

Подробный ответ

Так как сечение $$BB_1D_1D$$ проведено через ребро $$BB_1$$ и перпендикулярно плоскости грани $$AA_1C_1C$$, то отрезок $$BD$$ является высотой прямоугольного треугольника $$ABC$$, опущенной на гипотенузу $$AC$$.

Кроме того, в прямой призме $$BB_1 \perp (ABC)$$, значит $$BB_1 \perp BD$$. Следовательно, четырёхугольник $$BB_1D_1D$$ — прямоугольник, и его площадь равна произведению его сторон:

$$S_{BB_1D_1D}=BD\cdot BB_1.$$

Найдём $$BD$$. Для высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, верно:

$$BD^2=AD\cdot DC.$$

Тогда

$$BD=\sqrt{27\cdot 12}=\sqrt{324}=18\text{ см}.$$

Так как $$AA_1=10\text{ см}$$, то $$BB_1=10\text{ см}$$. Поэтому

$$S_{BB_1D_1D}=18\cdot 10=180\text{ см}^2.$$