Упр.233 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основанием прямой призмы $$ABCA_1B_1C_1$$ является прямоугольный треугольник $$ABC$$ с прямым углом $$B$$. Через ребро $$BB_1$$ проведено сечение $$BB_1D_1D$$, перпендикулярное к плоскости грани $$AA_1C_1C$$. Найдите площадь сечения, если $$AA_1=10\text{ см}$$, $$AD=27\text{ см}$$, $$DC=12\text{ см}$$.

Так как призма прямая, то $$BB_1 \perp (ABC).$$

Плоскость сечения $$BB_1D_1D$$ перпендикулярна плоскости грани $$AA_1C_1C$$, значит линия их пересечения $$DD_1$$ перпендикулярна ребру $$AC$$. Следовательно, в основании треугольника $$ABC$$ отрезок $$BD$$ является высотой, опущенной на гипотенузу $$AC$$.

Найдём $$BD$$. Для прямоугольного треугольника высота к гипотенузе удовлетворяет формуле

$$BD^2=AD\cdot DC.$$

Тогда

$$BD=\sqrt{27\cdot 12}=\sqrt{324}=18\text{ см}.$$

Сечение $$BB_1D_1D$$ — прямоугольник, поэтому его площадь равна произведению его сторон:

$$S_{BB_1D_1D}=BB_1\cdot BD.$$

Так как $$BB_1=AA_1=10\text{ см},$$ получаем

$$S_{BB_1D_1D}=10\cdot 18=180\text{ см}^2.$$

Ответ: $$180\text{ см}^2.$$