Упр.232 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда, равная $$d$$, образует с плоскостью основания угол $$\varphi$$, а с одной из боковых граней — угол $$\alpha$$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Обозначим $$AB=x,$$ $$AD=y,$$ $$AA_1=z.$$ Тогда боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда равна

$$S_{\text{бок}}=2(x+y)z.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACA_1$$. Так как $$AC_1=d$$ и угол между диагональю и плоскостью основания равен $$\varphi,$$ то

$$z=AA_1=d\sin\varphi,$$

а проекция диагонали $$AC_1$$ на плоскость основания равна

$$AC=d\cos\varphi.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACA_1$$? Нет, удобнее использовать треугольник $$AC_1A$$ и угол между диагональю и боковой гранью. Из условия $$\angle D_1AC_1=\alpha,$$ значит в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$AC_1=d$$ одна из катетов равна

$$x=d\sin\alpha.$$

Тогда по теореме Пифагора для диагонали основания $$AC$$:

$$x^2+y^2=AC^2=d^2\cos^2\varphi.$$

Подставляя $$x=d\sin\alpha,$$ получаем

$$y^2=d^2\cos^2\varphi-d^2\sin^2\alpha,$$

откуда

$$y=d\sqrt{\cos^2\varphi-\sin^2\alpha}.$$

Теперь найдём площадь боковой поверхности:

$$S_{\text{бок}}=2(x+y)z =2\bigl(d\sin\alpha+d\sqrt{\cos^2\varphi-\sin^2\alpha}\bigr)\cdot d\sin\varphi.$$

Итак,

Ответ: $$S_{\text{бок}}=2d^2\sin\varphi\left(\sin\alpha+\sqrt{\cos^2\varphi-\sin^2\alpha}\right).$$