Упр.231 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Стороны основания прямого параллелепипеда равны $$8\ \text{см}$$ и $$15\ \text{см}$$ и образуют угол $$60^\circ$$. Меньшая из площадей диагональных сечений равна $$130\ \text{см}^2$$. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.
Найдём диагональ основания $$BD$$ по теореме косинусов в треугольнике $$ABD$$:
$$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos \angle BAD$$
$$BD^2=15^2+8^2-2\cdot 15\cdot 8\cdot \cos 60^\circ =225+64-240\cdot \frac12=169,$$
значит, $$BD=13$$ см.
Меньшая диагональ основания лежит против меньшего угла, поэтому меньшему диагональному сечению соответствует диагональ $$BD$$. Диагональное сечение прямого параллелепипеда — прямоугольник, его площадь равна произведению диагонали основания на высоту параллелепипеда:
$$S_{\text{сеч}}=BD\cdot h.$$
По условию $$130=13\cdot h$$, откуда
$$h=10\text{ см}.$$
Площадь поверхности прямого параллелепипеда:
$$S_{\text{полн}}=2S_{\text{осн}}+P_{\text{осн}}\cdot h.$$
Найдём площадь основания:
$$S_{\text{осн}}=AB\cdot AD\cdot \sin 60^\circ =15\cdot 8\cdot \frac{\sqrt3}{2}=60\sqrt3.$$
Периметр основания:
$$P_{\text{осн}}=2(AB+AD)=2(15+8)=46.$$
Тогда
$$S_{\text{полн}}=2\cdot 60\sqrt3+46\cdot 10=120\sqrt3+460.$$
Ответ: $$460+120\sqrt3\ \text{см}^2$$.
