Упр.231 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в 60°. Меньшая из площадей диагональных сечений’ равна 130 см2. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Подробный ответ

Найдём диагонали основания параллелепипеда. В треугольнике $$ABD$$ по теореме косинусов:

$$ BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos \angle BAD $$
$$ BD^2=15^2+8^2-2\cdot 15\cdot 8\cdot \cos 60^\circ =225+64-240\cdot \frac12=169, $$
значит,
$$ BD=13\text{ см}. $$

Вторая диагональ основания:

$$ AC^2=AB^2+AD^2+2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos 60^\circ $$
$$ AC^2=225+64+240\cdot \frac12=409, $$
поэтому
$$ AC=\sqrt{409}\text{ см}. $$

Меньшая диагональ основания — $$BD=13$$ см, значит меньшая площадь диагонального сечения равна площади прямоугольника с сторонами $$BD$$ и высотой параллелепипеда $$h$$:

$$ S_{\text{диаг}}=BD\cdot h=130. $$
Отсюда
$$ 13h=130,\qquad h=10\text{ см}. $$

Площадь поверхности прямого параллелепипеда:

$$ S_{\text{полн}}=2S_{\text{осн}}+P_{\text{осн}}\cdot h. $$

Площадь основания:

$$ S_{\text{осн}}=AB\cdot AD\cdot \sin 60^\circ =15\cdot 8\cdot \frac{\sqrt3}{2}=60\sqrt3. $$

Периметр основания:

$$ P_{\text{осн}}=2(AB+AD)=2(15+8)=46. $$

Тогда

$$ S_{\text{полн}}=2\cdot 60\sqrt3+46\cdot 10 =120\sqrt3+460. $$