Упр.230 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом в 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Подробный ответ

Обозначим основание призмы треугольником $$ABC$$, где $$AB=3$$ см, $$BC=5$$ см, $$\angle ABC=120^\circ$$. Призма прямая, значит боковые грани — прямоугольники, а их площади равны произведению стороны основания на высоту призмы $$h$$.

Найдём третью сторону основания по теореме косинусов:

$$ AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle ABC $$
$$ AC^2=3^2+5^2-2\cdot 3\cdot 5\cdot \cos 120^\circ $$
$$ AC^2=9+25-30\cdot \left(-\frac12\right)=9+25+15=49 $$
$$ AC=7\text{ см} $$

Наибольшая боковая грань соответствует наибольшей стороне основания, то есть стороне $$AC$$. По условию её площадь равна $$35\text{ см}^2$$:

$$ AC\cdot h=35 $$
$$ 7\cdot h=35 $$
$$ h=5\text{ см} $$

Тогда площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей трёх боковых граней:

$$ S_{\text{бок}}=(AB+BC+AC)\cdot h $$
$$ S_{\text{бок}}=(3+5+7)\cdot 5=15\cdot 5=75\text{ см}^2 $$