Подготовка к ЕГЭ Задание 6 Упр.23 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной v3.

В правильном шестиугольнике угол при вершине равен $$120^\circ$$. Радиус вписанной окружности равен перпендикуляру, опущенному из центра на сторону шестиугольника, то есть $$OH=r$$.

Рассмотрим треугольник $$AOB$$, где $$O$$ — центр шестиугольника, а $$A$$ и $$B$$ — соседние вершины. Тогда

$$OA=OB=AB=\sqrt{3}.$$

Треугольник $$AOB$$ равнобедренный, поэтому

$$\angle OAB=\angle OBA=\frac{1}{2}\angle A=60^\circ.$$

Следовательно, треугольник $$AOB$$ равносторонний. Высота $$OH$$, опущенная на сторону $$AB$$, является также медианой, значит

$$AH=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOH$$ по теореме Пифагора:

$$ OH=\sqrt{AO^2-AH^2} =\sqrt{3-\frac{3}{4}} =\sqrt{\frac{12-3}{4}} =\sqrt{\frac{9}{4}} =\frac{3}{2}. $$

Так как $$OH=r$$, то радиус вписанной окружности равен $$\frac{3}{2}$$.

Ответ

$$1{,}5$$