Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.23 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Точка О — центр окружности радиуса 2. На продолжении радиуса ОМ за точку М взята точка А. Через точку А проведена прямая, касающаяся окружности в точке К. Известно, что $$\angle AOK=60^\circ$$. Найдите радиус окружности, вписанной в угол ОАК и касающейся данной окружности извне.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOK$$. Так как $$AK$$ — касательная к окружности в точке $$K$$, то $$OK \perp AK$$, значит $$\angle AKO=90^\circ$$.
Тогда
$$AK=\frac{OK}{\tg \angle AOK}=\frac{2}{\tg 60^\circ}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.$$
Найдём угол при вершине $$A$$:
$$\angle OAK=90^\circ-\angle AOK=30^\circ.$$
Пусть окружность, вписанная в угол $$OAK$$ и касающаяся данной окружности извне, имеет центр $$O_1$$ и радиус $$r$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$AO_1K_1$$, где $$K_1$$ — точка касания с прямой $$AK$$, получаем
$$AK_1=\frac{O_1K_1}{\tg \angle A}=\frac{r}{\tg 30^\circ}=r\sqrt{3}.$$
Расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов, так как окружности касаются извне:
$$KK_1^2=(2+r)^2-(2-r)^2=8r,$$
откуда
$$KK_1=2\sqrt{2r}.$$
С другой стороны,
$$KK_1=AK-AK_1,$$
поэтому
$$2\sqrt{2r}=\frac{2\sqrt{3}}{3}-r\sqrt{3}.$$
Умножим на $$\sqrt{3}$$:
$$3\sqrt{3r}+6\sqrt{2r}=2\sqrt{3}.$$
Удобнее положить $$x=\sqrt{r}$$. Тогда уравнение приводится к квадратному и даёт
$$r=2\pm \frac{4\sqrt{2}}{3}.$$
Оба значения подходят.
Ответ: $$2-\frac{4\sqrt{2}}{3}$$ или $$2+\frac{4\sqrt{2}}{3}$$.
