Подготовка к ЕГЭ Задание 6 Упр.23 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $$\sqrt{3}$$.

В правильном шестиугольнике центральный угол равен $$120^\circ$$, поэтому треугольник $$AOB$$ равносторонний? Нет, здесь удобнее рассмотреть треугольник $$AOB$$: его стороны равны радиусу описанной окружности правильного шестиугольника, а значит

$$OA=OB=AB=\sqrt{3}.$$

Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра из центра $$O$$ на сторону $$AB$$. Тогда $$OH$$ — искомый радиус вписанной окружности, а в правильном шестиугольнике этот перпендикуляр делит сторону пополам:

$$AH=HB=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOH$$ по теореме Пифагора получаем:

$$OH=\sqrt{OA^2-AH^2} =\sqrt{3-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} =\sqrt{3-\frac{3}{4}} =\sqrt{\frac{9}{4}} =\frac{3}{2}.$$

Ответ: $$\frac{3}{2}$$.