Упр.229 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площади боковой и полной поверхности призмы, если: а) n = 3, а = 10 см, h = 15 см; б) n = 4, а = 12 дм, h = 8 дм; в) n = 6, а = 23 см, h = 5 дм; г) n = 5, а = 0,4 м, h = 10 см.

Площадь полной поверхности правильной призмы равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания:

$$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}.$$

Для правильной $$n$$-угольной призмы

$$S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h=n a h,$$

где $$P_{\text{осн}}=na$$ — периметр основания.

Площадь правильного $$n$$-угольника со стороной $$a$$:

$$S_{\text{осн}}=\frac{n a^2}{4}\ctg\frac{180^\circ}{n}.$$

Тогда

$$S_{\text{полн}}=nah+2\cdot \frac{n a^2}{4}\ctg\frac{180^\circ}{n}=nah+\frac{n a^2}{2}\ctg\frac{180^\circ}{n}.$$

а) $$n=3,\ a=10\text{ см},\ h=15\text{ см}.$$

$$S_{\text{бок}}=3\cdot 10\cdot 15=450\text{ см}^2.$$

Так как основание — равносторонний треугольник, то

$$S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 10^2=25\sqrt{3}\text{ см}^2.$$

$$S_{\text{полн}}=450+2\cdot 25\sqrt{3}=450+50\sqrt{3}\approx 536{,}6\text{ см}^2.$$

б) $$n=4,\ a=12\text{ дм},\ h=8\text{ дм}.$$

$$S_{\text{бок}}=4\cdot 12\cdot 8=384\text{ дм}^2.$$

Основание — квадрат, значит

$$S_{\text{осн}}=a^2=12^2=144\text{ дм}^2.$$

$$S_{\text{полн}}=384+2\cdot 144=672\text{ дм}^2.$$

в) $$n=6,\ a=23\text{ см},\ h=5\text{ дм}=50\text{ см}.$$

$$S_{\text{бок}}=6\cdot 23\cdot 50=6900\text{ см}^2.$$

Для правильного шестиугольника

$$S_{\text{осн}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 23^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 529\approx 1372{,}7\text{ см}^2.$$

$$S_{\text{полн}}=6900+2\cdot 1372{,}7\approx 9645{,}4\text{ см}^2\approx 9649\text{ см}^2.$$

г) $$n=5,\ a=0{,}4\text{ м}=40\text{ см},\ h=10\text{ см}.$$

$$S_{\text{бок}}=5\cdot 40\cdot 10=2000\text{ см}^2.$$

Площадь основания правильного пятиугольника:

$$S_{\text{осн}}=\frac{5a^2}{4}\ctg 36^\circ=\frac{5\cdot 40^2}{4}\ctg 36^\circ=2000\ctg 36^\circ\approx 1375{,}5\text{ см}^2.$$

$$S_{\text{полн}}=2000+2\cdot 1375{,}5\approx 4751\text{ см}^2.$$

Ответ

а) $$S_{\text{бок}}=450\text{ см}^2,\quad S_{\text{полн}}=450+50\sqrt{3}\approx 536{,}6\text{ см}^2.$$

б) $$S_{\text{бок}}=384\text{ дм}^2,\quad S_{\text{полн}}=672\text{ дм}^2.$$

в) $$S_{\text{бок}}=6900\text{ см}^2,\quad S_{\text{полн}}\approx 9649\text{ см}^2.$$

г) $$S_{\text{бок}}=2000\text{ см}^2,\quad S_{\text{полн}}\approx 4751\text{ см}^2.$$