Упр.229 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В правильной $$n$$-угольной призме сторона основания равна $$a$$ и высота равна $$h$$. Вычислите площади боковой и полной поверхности призмы, если: а) $$n=3$$, $$a=10\ \text{см}$$, $$h=15\ \text{см}$$; б) $$n=4$$, $$a=12\ \text{дм}$$, $$h=8\ \text{дм}$$; в) $$n=6$$, $$a=23\ \text{см}$$, $$h=5\ \text{дм}$$; г) $$n=5$$, $$a=0{,}4\ \text{м}$$, $$h=10\ \text{см}$$.

Для правильной $$n$$-угольной призмы

$$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}$$

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту:
$$S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h=n a h.$$

Площадь правильного $$n$$-угольника со стороной $$a$$:
$$S_{\text{осн}}=\frac{n a^2}{4}\ctg\frac{180^\circ}{n}.$$

Тогда
$$S_{\text{полн}}=n a h+\frac{n a^2}{2}\ctg\frac{180^\circ}{n}.$$

1. $$n=3,\ a=10\text{ см},\ h=15\text{ см}$$

   $$S_{\text{бок}}=3\cdot 10\cdot 15=450\text{ см}^2.$$

   Для равностороннего треугольника $$\ctg 60^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}$$, поэтому
   $$S_{\text{полн}}=450+ \frac{3\cdot 10^2}{2}\ctg 60^\circ =450+\frac{150}{\sqrt{3}} =450+50\sqrt{3}\approx 536{,}6\text{ см}^2.$$

2. $$n=4,\ a=12\text{ дм},\ h=8\text{ дм}$$

   $$S_{\text{бок}}=4\cdot 12\cdot 8=384\text{ дм}^2.$$

   $$\ctg 45^\circ=1,$$
   поэтому
   $$S_{\text{полн}}=384+\frac{4\cdot 12^2}{2}=384+288=672\text{ дм}^2.$$

3. $$n=6,\ a=23\text{ см},\ h=5\text{ дм}=50\text{ см}$$

   $$S_{\text{бок}}=6\cdot 23\cdot 50=6900\text{ см}^2.$$

   Для правильного шестиугольника $$\ctg 30^\circ=\sqrt{3}$$, значит
   $$S_{\text{полн}}=6900+\frac{6\cdot 23^2}{2}\sqrt{3} =6900+1587\sqrt{3}\approx 9649\text{ см}^2.$$

4. $$n=5,\ a=0{,}4\text{ м}=40\text{ см},\ h=10\text{ см}$$

   $$S_{\text{бок}}=5\cdot 40\cdot 10=2000\text{ см}^2.$$

   $$\ctg 36^\circ\approx 1{,}376,$$
   поэтому
   $$S_{\text{полн}}=2000+\frac{5\cdot 40^2}{2}\ctg 36^\circ \approx 2000+4000\cdot 0{,}376 \approx 7505\text{ см}^2.$$

Ответ: а) $$S_{\text{бок}}=450\text{ см}^2,\ S_{\text{полн}}\approx 536{,}6\text{ см}^2$$; б) $$S_{\text{бок}}=384\text{ дм}^2,\ S_{\text{полн}}=672\text{ дм}^2$$; в) $$S_{\text{бок}}=6900\text{ см}^2,\ S_{\text{полн}}\approx 9649\text{ см}^2$$; г) $$S_{\text{бок}}=2000\text{ см}^2,\ S_{\text{полн}}\approx 7505\text{ см}^2$$.