Упр.226 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В правильной четырёхугольной призме через диагональ основания проведено сечение, параллельное диагонали призмы. Найдите площадь сечения, если сторона основания призмы равна $$2\ \text{см}$$, а её высота равна $$4\ \text{см}$$.

Пусть сечение проходит через диагональ основания $$BD$$ и параллельно диагонали призмы $$AC_1$$. Тогда сечение — треугольник $$BDH$$, где точка $$H$$ лежит на ребре $$CC_1$$.

Найдём площадь треугольника $$BDH$$:

$$S_{BDH}=\frac12\cdot BD\cdot OH,$$

где $$OH$$ — высота треугольника $$BDH$$, а так как $$BDH$$ лежит в плоскости, параллельной диагонали $$AC_1$$, то $$OH$$ равно половине диагонали $$AC_1$$.

Основание призмы — квадрат со стороной $$2$$ см, значит его диагональ

$$BD=2\sqrt2.$$

Найдём диагональ $$AC_1$$ по теореме Пифагора:

$$AC_1^2=AC^2+CC_1^2,$$

где

$$AC=2\sqrt2,\qquad CC_1=4.$$

Тогда

$$AC_1^2=(2\sqrt2)^2+4^2=8+16=24,$$

$$AC_1=2\sqrt6.$$

Следовательно,

$$OH=\frac{AC_1}{2}=\sqrt6.$$

Теперь вычислим площадь сечения:

$$S_{BDH}=\frac12\cdot 2\sqrt2\cdot \sqrt6 =\sqrt{12}=2\sqrt3.$$

Ответ: $$2\sqrt3\ \text{см}^2$$.