Упр.225 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Диагональ правильной четырёхугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол $$30^\circ$$. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD A_1B_1C_1D_1$$ — правильная четырёхугольная призма, а $$\varphi$$ — угол между диагональю $$AC_1$$ и плоскостью основания $$ABC$$.

Так как призма правильная, то основание — квадрат. Обозначим его сторону через $$a$$, а высоту призмы через $$h$$. Тогда диагональ основания

$$AC=a\sqrt{2}.$$

Угол между прямой и плоскостью равен углу между этой прямой и её проекцией на плоскость, значит

$$\angle(AC_1,ABC)=\angle C_1AC=\varphi.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACC_1$$. В нём

$$\tan\varphi=\frac{CC_1}{AC}=\frac{h}{a\sqrt{2}}.$$

Теперь используем условие задачи: угол между диагональю $$AC_1$$ и плоскостью боковой грани равен $$30^\circ$$. Проекцией диагонали $$AC_1$$ на плоскость боковой грани является отрезок, лежащий в этой грани, и в соответствующем прямоугольном треугольнике получаем

$$\sin 30^\circ=\frac{h}{AC_1}.$$

Так как

$$AC_1^2=AC^2+CC_1^2=a^2\cdot 2+h^2,$$

то из условия

$$\frac{h}{\sqrt{2a^2+h^2}}=\frac12.$$

Возводим в квадрат:

$$4h^2=2a^2+h^2,$$

$$3h^2=2a^2,$$

$$h^2=\frac{2a^2}{3}.$$

Тогда

$$\tan\varphi=\frac{h}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2/3}\,a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Следовательно,