Упр.224 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону нижнего основания и противолежащую сторону верхнего основания, если диагональ основания равна 4 V2 см.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD A_1B_1C_1D_1$$ — правильная четырёхугольная призма. Тогда основание призмы — квадрат.

Обозначим сторону квадрата через $$a$$. По условию диагональ основания равна $$4\sqrt{2}$$ см, значит

$$a\sqrt{2}=4\sqrt{2}, \quad a=4\text{ см}.$$

Диагональ призмы $$AC_1$$ наклонена к плоскости основания под углом $$60^\circ$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$ACC_1$$

$$\tan 60^\circ=\frac{CC_1}{AC}.$$

Так как $$AC=4\sqrt{2}$$, получаем

$$CC_1=AC\cdot \tan 60^\circ=4\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=4\sqrt{6}\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABB_1$$. По теореме Пифагора

$$AB_1^2=AB^2+BB_1^2=4^2+(4\sqrt{6})^2=16+96=112,$$

откуда

$$AB_1=4\sqrt{7}\text{ см}.$$

Сечение, проходящее через сторону нижнего основания и противолежащую сторону верхнего основания, — прямоугольник $$ADC_1B_1$$. Его стороны равны $$AD=4$$ и $$DC_1=AB_1=4\sqrt{7}$$.

Тогда площадь сечения:

$$S_{ADC_1B_1}=AD\cdot DC_1=4\cdot 4\sqrt{7}=16\sqrt{7}\text{ см}^2.$$