Упр.224 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Диагональ правильной четырёхугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом $$60^\circ$$. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону нижнего основания и противолежащую сторону верхнего основания, если диагональ основания равна $$4\sqrt{2}\text{ см}$$.

Так как призма правильная, её основание — квадрат. Пусть сторона основания равна $$a$$. Тогда по диагонали квадрата

$$a\sqrt{2}=4\sqrt{2},$$

откуда $$a=4\text{ см}.$$

Рассмотрим диагональ призмы $$AC_1$$. Угол между этой диагональю и плоскостью основания равен $$60^\circ$$, значит угол между диагональю $$AC_1$$ и её проекцией $$AC$$ тоже равен $$60^\circ$$.

В прямоугольном треугольнике $$ACC_1$$ имеем

$$\tan 60^\circ=\frac{CC_1}{AC}.$$

Так как $$AC=4\sqrt{2}$$, то

$$CC_1=AC\cdot \tan 60^\circ=4\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=4\sqrt{6}\text{ см}.$$

Сечение проходит через сторону нижнего основания и противолежащую сторону верхнего основания, значит это прямоугольник $$ADC_1B_1$$. Его стороны равны $$AD=4$$ и $$AB_1$$.

Найдём $$AB_1$$ из прямоугольного треугольника $$ABB_1$$:

$$AB_1^2=AB^2+BB_1^2=4^2+(4\sqrt{6})^2=16+96=112,$$

следовательно,

$$AB_1=\sqrt{112}=4\sqrt{7}\text{ см}.$$

Тогда площадь сечения равна

$$S_{ADC_1B_1}=AD\cdot AB_1=4\cdot 4\sqrt{7}=16\sqrt{7}\text{ см}^2.$$

Ответ: $$16\sqrt{7}\text{ см}^2$$.