Упр.222 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями $$25\ \text{см}$$ и $$9\ \text{см}$$ и высотой $$8\ \text{см}$$. Найдите двугранные углы при боковых рёбрах призмы.
Рассмотрим основание прямой призмы — равнобедренную трапецию $$ABCD$$, где $$BC=9$$ см, $$AD=25$$ см, высота трапеции равна $$8$$ см.
Проведём из точек $$B$$ и $$C$$ перпендикуляры на основание $$AD$$: пусть $$BE\perp AD$$ и $$CF\perp AD$$. Тогда $$BE=CF=8$$ см.
Так как трапеция равнобедренная, то отрезки у большего основания равны:
$$AE=FD=\frac{AD-BC}{2}=\frac{25-9}{2}=8.$$
Следовательно, треугольник $$ABE$$ прямоугольный и равнобедренный, значит
$$\angle BAE=45^\circ.$$
Аналогично
$$\angle CDF=45^\circ.$$
Теперь найдём углы при боковых рёбрах призмы. В прямой призме линейные углы двугранных углов при боковых рёбрах равны углам трапеции $$ABCD$$.
Так как $$AD \parallel BC$$, то внутренние односторонние углы при секущих $$AB$$ и $$CD$$ дополняют друг друга до $$180^\circ$$:
$$\angle ABC=180^\circ-45^\circ=135^\circ,$$
$$\angle BCD=180^\circ-45^\circ=135^\circ.$$
Значит, двугранные углы при боковых рёбрах призмы равны $$45^\circ$$ и $$135^\circ$$. Поочерёдно для четырёх рёбер получаем:
$$45^\circ,\ 135^\circ,\ 135^\circ,\ 45^\circ.$$
Ответ: $$45^\circ,\ 135^\circ,\ 135^\circ,\ 45^\circ$$.
