Упр.221 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

Подробный ответ

Так как призма правильная, то её боковые рёбра перпендикулярны основанию. Следовательно, $$CC_1 \perp ABC$$, а значит, треугольник $$ACC_1$$ прямоугольный.

По теореме Пифагора:

$$AC_1^2=AC^2+CC_1^2=8^2+6^2=64+36=100,$$

откуда $$AC_1=10\text{ см}.$$

Аналогично получаем $$AB_1=10\text{ см}.$$

Сечение — треугольник $$AB_1C_1$$. Найдём его площадь по формуле Герона:

$$p=\frac{AB_1+B_1C_1+AC_1}{2}=\frac{10+8+10}{2}=14,$$
$$S_{AB_1C_1}=\sqrt{p(p-AB_1)(p-B_1C_1)(p-AC_1)}.$$

Тогда

$$S_{AB_1C_1}=\sqrt{14\cdot(14-10)\cdot(14-8)\cdot(14-10)}$$
$$=\sqrt{14\cdot4\cdot6\cdot4}=\sqrt{1344}=8\sqrt{21}\text{ см}^2.$$

Ответ: $$8\sqrt{21}\text{ см}^2.$$