Практика Упр.22 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Объем цилиндра:
V=пR^2h; h=V/(пR^2);
Площадь цилиндра:
S(R)=2пR^2+2пRh;
S(R)=2пR^2+1/R•2V;
Точка минимума:
S’=4п•R-2V/R^2 > =0;
4пR^3 > =2V, R > =v(V/2п);
h=V/п:v(V^2/(4п^2))=v(4V/п);
Ответ: R=v(V/2п); h=v(4V/п).
Пусть радиус основания цилиндра равен $$R$$, а высота — $$h$$. Тогда по условию объём цилиндра постоянен:
$$V=\pi R^2h,$$
откуда
$$h=\frac{V}{\pi R^2}.$$
Площадь полной поверхности цилиндра равна
$$S=2\pi R^2+2\pi Rh.$$
Подставим выражение для $$h$$:
$$S(R)=2\pi R^2+2\pi R\cdot \frac{V}{\pi R^2}=2\pi R^2+\frac{2V}{R}.$$
Найдём минимум функции $$S(R)$$ при $$R>0$$:
$$S'(R)=4\pi R-\frac{2V}{R^2}.$$
В точке минимума производная равна нулю:
$$4\pi R-\frac{2V}{R^2}=0,$$
$$4\pi R^3=2V,$$
$$R^3=\frac{V}{2\pi},$$
$$R=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}.$$
Теперь найдём высоту:
$$h=\frac{V}{\pi R^2}=\frac{V}{\pi\left(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\right)^2}.$$
Преобразуем:
$$h=\sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}.$$
Ответ
$$R=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}},\qquad h=\sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}.$$