Упр.22 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точки $$A$$ и $$B$$ лежат в плоскости $$\alpha$$, а точка $$C$$ не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков $$AC$$ и $$BC$$, параллельна плоскости $$\alpha$$.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Точки $$D$$ и $$E$$ — середины отрезков $$AC$$ и $$BC$$ соответственно, значит, $$DE$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$.

По свойству средней линии треугольника получаем:

$$DE \parallel AB.$$

Так как прямая $$AB$$ лежит в плоскости $$\alpha$$, а прямая $$DE$$ параллельна прямой $$AB$$ и не лежит в плоскости $$\alpha$$, то по теореме о параллельности прямой и плоскости имеем:

$$DE \parallel \alpha.$$

Ответ: $$DE \parallel \alpha$$.