Практика Упр.22 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
При каких условиях расход жести на изготовление консервных банок цилиндрической формы заданной емкости будет наибольшим? Другими словами, найдите размеры цилиндра данного объема $$V$$, площадь поверхности которого наименьшая.
Пусть радиус основания цилиндра равен $$R$$, а высота — $$h$$. Тогда при фиксированном объёме $$V$$ имеем
$$V=\pi R^2h,$$
откуда
$$h=\frac{V}{\pi R^2}.$$
Площадь поверхности цилиндра
$$S=2\pi R^2+2\pi Rh.$$
Подставим сюда выражение для $$h$$:
$$S(R)=2\pi R^2+2\pi R\cdot \frac{V}{\pi R^2}=2\pi R^2+\frac{2V}{R}.$$
Найдём минимум функции $$S(R)$$ при $$R>0$$:
$$S'(R)=4\pi R-\frac{2V}{R^2}.$$
В точке минимума производная равна нулю:
$$4\pi R-\frac{2V}{R^2}=0,$$
$$4\pi R^3=2V,$$
$$R^3=\frac{V}{2\pi},$$
$$R=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}.$$
Теперь найдём высоту:
$$h=\frac{V}{\pi R^2}=\frac{V}{\pi\left(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\right)^2}.$$
Упростим:
$$h=\sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}.$$
Следовательно, площадь поверхности цилиндра наименьшая тогда, когда
$$R=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}, \qquad h=\sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}.$$
Ответ: $$R=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}},\ h=\sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}.$$
