Подготовка к ЕГЭ Задание 8 Упр.22 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна к плоскости основания, а каждая из трёх других боковых граней наклонена к плоскости основания под углом в 60°. Высота пирамиды равна 6. Найдите объём пирамиды.

Рассмотрим основание пирамиды $$ABCD$$. Так как одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие наклонены к ней под углом $$60^\circ$$, то в основании получаем прямоугольник, у которого $$AB \parallel CD$$ и $$AD \parallel BC$$.

Пусть $$MH$$ — высота пирамиды, $$MH=6$$. Тогда $$MH \perp ABCD$$.

Рассмотрим грань $$MAB$$. Она перпендикулярна основанию, значит в треугольнике $$MAB$$ высота $$MH$$ лежит в этой грани и $$MH \perp AB$$. Угол между гранью $$MAB$$ и плоскостью основания равен углу $$\angle MHA$$, поэтому

$$\tan 60^\circ=\frac{MH}{AH}.$$

Отсюда

$$AH=\frac{MH}{\tan 60^\circ}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}.$$

Так как $$H$$ — середина стороны $$AB$$, то

$$AB=2AH=4\sqrt{3}.$$

Аналогично для соседней боковой грани получаем

$$\tan 60^\circ=\frac{MH}{HK},$$

откуда

$$HK=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}.$$

Следовательно, вторая сторона основания также равна

$$AD=2HK=4\sqrt{3}.$$

Теперь найдём объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot MH=\frac{1}{3}\cdot AB\cdot AD\cdot MH.$$

Подставим значения:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 6=\frac{1}{3}\cdot 16\cdot 3\cdot 6=96.$$

Ответ

$$96$$