Подготовка к ЕГЭ Задание 6 Упр.22 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Сторона правильного треугольника равна v3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

В правильном треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают. Пусть $$CH$$ — высота, тогда точка $$H$$ — середина стороны $$AB$$, а центр вписанной окружности $$O$$ лежит на $$CH$$ и делит её в отношении $$2:1$$, считая от вершины.

Найдём высоту $$CH$$ из прямоугольного треугольника $$ACH$$:

$$AH=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{3-\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$$

Радиус вписанной окружности равен $$\frac{1}{3}$$ высоты правильного треугольника:

$$r=\frac{1}{3}CH=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}=\frac{1}{2}$$

Ответ

$$0{,}5$$