Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.22 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Окружности $$S_1$$ и $$S_2$$ радиусов $$R$$ и $$r$$ соответственно ($$R>r$$) касаются в точке $$A$$. Через точку $$B$$, лежащую на окружности $$S_1$$, проведена прямая, касающаяся окружности $$S_2$$ в точке $$M$$. Найдите отрезок $$BM$$, если известно, что $$AB=a$$.
Обозначим центры окружностей через $$O_1$$ и $$O_2$$. Так как окружности касаются в точке $$A$$, то точки $$O_1, A, O_2$$ лежат на одной прямой.
Рассмотрим треугольник $$\triangle AO_1B$$. Здесь $$O_1A=O_1B=R$$, поэтому по теореме косинусов:
$$O_1B^2=O_1A^2+AB^2-2\cdot O_1A\cdot AB\cos \angle O_1AB.$$
Подставим $$O_1A=O_1B=R$$ и $$AB=a$$:
$$R^2=R^2+a^2-2Ra\cos \angle O_1AB,$$
откуда
$$\cos \angle O_1AB=\frac{a}{2R}.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$\triangle AO_2B$$. Так как $$O_2A=r$$, то по теореме косинусов:
$$O_2B^2=AB^2+AO_2^2-2\cdot AB\cdot AO_2\cos \angle BAO_2.$$
Поскольку лучи $$AO_1$$ и $$AO_2$$ лежат на одной прямой, угол $$\angle BAO_2$$ дополняет угол $$\angle O_1AB$$ до $$180^\circ$$, значит
$$\cos \angle BAO_2=-\cos \angle O_1AB=-\frac{a}{2R}.$$
Тогда
$$O_2B^2=a^2+r^2-2ar\left(-\frac{a}{2R}\right)=a^2+r^2+\frac{a^2r}{R}.$$
Так как $$BM$$ — касательная к окружности $$S_2$$ в точке $$M$$, то $$O_2M\perp BM$$, а значит, в прямоугольном треугольнике $$\triangle O_2MB$$:
$$BM^2=O_2B^2-O_2M^2=O_2B^2-r^2.$$
Следовательно,
$$BM^2=a^2+\frac{a^2r}{R}=a^2\left(1+\frac{r}{R}\right),$$
откуда
$$BM=a\sqrt{1+\frac{r}{R}}.$$
Ответ: $$a\sqrt{1+\frac{r}{R}}$$.
