Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.22 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Диаметр основания цилиндра равен $$20$$, а образующая цилиндра равна $$28$$. Плоскость пересекает его основания по хордам длины $$12$$ и $$16$$. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Рассмотрим сечения цилиндра плоскостью, проходящей через образующую $$EE_1$$. Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ — центры оснований цилиндра, $$R=10$$, $$EE_1=28$$, а хорды оснований равны $$12$$ и $$16$$.

Найдём расстояния от центров оснований до этих хорд:

$$O_1E=\sqrt{R^2-\left(\frac{12}{2}\right)^2} =\sqrt{10^2-6^2} =\sqrt{100-36} =8$$

$$O_2F=\sqrt{R^2-\left(\frac{16}{2}\right)^2} =\sqrt{10^2-8^2} =\sqrt{100-64} =6$$

В плоскости сечения получаем прямоугольный треугольник, в котором вертикальная сторона равна $$EE_1=28$$, а горизонтальное смещение между точками пересечения с основаниями может быть равно либо разности, либо сумме найденных расстояний:

$$HF=O_1E-O_2F=8-6=2$$
или
$$HF=O_1E+O_2F=8+6=14$$

Тогда тангенс угла между плоскостью сечения и плоскостью основания равен отношению высоты к горизонтальному смещению:

$$\tan \varphi=\frac{EE_1}{HF}$$

Следовательно,

$$\tan \varphi=\frac{28}{2}=14$$
или
$$\tan \varphi=\frac{28}{14}=2$$

Ответ: $$2$$ или $$14$$.