Подготовка к ЕГЭ Задание 8 Упр.22 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна к плоскости основания, а каждая из трёх других боковых граней наклонена к плоскости основания под углом $$60^\circ$$. Высота пирамиды равна $$6$$. Найдите объём пирамиды.

Рассмотрим основание пирамиды $$ABCD$$ — прямоугольник. Пусть $$MH$$ — высота пирамиды, тогда $$MH \perp ABCD$$ и $$MH=6$$.

Так как одна боковая грань перпендикулярна к плоскости основания, а три другие наклонены к основанию под углом $$60^\circ$$, то в основании получаем равносторонний треугольник $$MAB$$, где $$H$$ — середина $$AB$$. Следовательно, $$AH=BH$$ и $$AB=2AH$$.

В прямоугольном треугольнике $$AMH$$:

$$\tan 60^\circ=\frac{MH}{AH}$$
$$AH=\frac{MH}{\tan 60^\circ}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$$
$$AB=2AH=4\sqrt{3}$$

Аналогично для другой стороны основания получаем:

$$AD=4\sqrt{3}$$

Тогда площадь основания прямоугольника:

$$S_{ABCD}=AB\cdot AD=4\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}=48$$

Объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot MH=\frac{1}{3}\cdot 48\cdot 6=96$$

Ответ: $$96$$.