Подготовка к ЕГЭ Задание 6 Упр.22 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Сторона правильного треугольника равна $$\sqrt{3}$$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

В правильном треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают, поэтому точка пересечения этих линий является центром вписанной окружности. Обозначим основание высоты через $$H$$, а центр окружности — через $$O$$.

Тогда

$$AH=BH=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ACH$$:

$$CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{3-\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}.$$

Центр вписанной окружности делит высоту правильного треугольника в отношении $$2:1$$, считая от вершины, значит

$$r=OH=\frac{1}{3}CH=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}=\frac{1}{2}.$$

Ответ: $$0{,}5$$.