Упр.216 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Точки $$A$$ и $$B$$ лежат на ребре данного двугранного угла, равного $$120^\circ$$. Отрезки $$AC$$ и $$BD$$ проведены в разных гранях и перпендикулярны к ребру двугранного угла. Найдите отрезок $$CD$$, если $$AB=AC=BD=a$$.
Обозначим ребро двугранного угла прямой $$l$$. Так как $$AC \perp l$$ и $$BD \perp l$$, то отрезки $$AC$$ и $$BD$$ лежат в разных гранях двугранного угла.
Рассмотрим треугольник $$ABD$$. Поскольку $$AB$$ лежит на ребре двугранного угла, а $$BD \perp l$$, то $$AB \perp BD$$. Значит, $$\triangle ABD$$ прямоугольный, и по теореме Пифагора
$$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}.$$
Угол между прямыми $$AC$$ и $$BD$$ равен углу двугранного угла, то есть $$120^\circ$$. Следовательно, в треугольнике $$ADC$$ имеем
$$\angle DAC=120^\circ,$$
так как лучи $$AD$$ и $$BD$$ образуют с ребром одинаковые перпендикуляры в соответствующих гранях.
Теперь применим теорему косинусов к треугольнику $$ADC$$:
$$CD^2=AD^2+AC^2-2\cdot AD\cdot AC\cos 120^\circ.$$
Подставим $$AD=a\sqrt{2}$$ и $$AC=a$$:
$$CD^2=(a\sqrt{2})^2+a^2-2\cdot a\sqrt{2}\cdot a\cdot\left(-\frac12\right) =2a^2+a^2+a^2=4a^2.$$
Значит,
$$CD=2a.$$
Ответ
$$CD=2a$$
