Упр.215 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Параллельные прямые $$AB$$ и $$CD$$ лежат в разных гранях двугранного угла, равного $$60^\circ$$. Точки $$A$$ и $$D$$ удалены от ребра двугранного угла соответственно на $$8\ \text{см}$$ и $$6{,}5\ \text{см}$$. Найдите расстояние между прямыми $$AB$$ и $$CD$$.

Так как $$AB \parallel CD$$, то существует плоскость $$\gamma$$, параллельная этим прямым и пересекающая ребро двугранного угла в точке $$G$$. Тогда расстояния от прямых до ребра равны расстояниям от точек $$A$$ и $$D$$ до точки $$G$$:

$$EG=8\text{ см}, \qquad GF=6{,}5\text{ см}.$$

В сечении плоскостью $$\gamma$$ получаем треугольник $$EGF$$, в котором угол между лучами $$GE$$ и $$GF$$ равен линейному углу двугранного угла:

$$\angle EGF=60^\circ.$$

Искомое расстояние между прямыми $$AB$$ и $$CD$$ равно отрезку $$EF$$. Найдём его по теореме косинусов:

$$EF^2=EG^2+GF^2-2\cdot EG\cdot GF\cdot \cos 60^\circ$$
$$EF^2=8^2+6{,}5^2-2\cdot 8\cdot 6{,}5\cdot \frac12$$
$$EF^2=64+42{,}25-52=54{,}25=\frac{217}{4}.$$

$$EF=\sqrt{\frac{217}{4}}=\frac{\sqrt{217}}{2}\text{ см}.$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{217}}{2}\text{ см}.$$