Упр.215 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Параллельные прямыеАВ и CD лежат в разных гранях двугранного угла, равного 60°. Точки A и D удалены от ребра двугранного угла соответственно на 8 см и 6,5 см. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Подробный ответ

Так как $$AB \parallel CD$$, то через прямую $$AB$$ и ребро двугранного угла можно провести плоскость, параллельную прямой $$CD$$. Тогда расстояние между прямыми $$AB$$ и $$CD$$ равно расстоянию между точками пересечения этих прямых с плоскостью, перпендикулярной ребру двугранного угла.

Проведём плоскость $$\gamma$$, перпендикулярную ребру двугранного угла $$l$$. Она пересечёт прямые $$AB$$ и $$CD$$ в точках $$E$$ и $$F$$ соответственно, а ребро $$l$$ — в точке $$G$$. Тогда $$EG$$ и $$FG$$ равны расстояниям от точек $$A$$ и $$D$$ до ребра двугранного угла:

$$EG=8\text{ см}, \qquad FG=6{,}5\text{ см}.$$

Угол между прямыми $$EG$$ и $$FG$$ равен линейному углу двугранного угла, то есть

$$\angle EGF=60^\circ.$$

Искомое расстояние между прямыми $$AB$$ и $$CD$$ равно $$EF$$. Найдём его по теореме косинусов в треугольнике $$EGF$$:

$$ EF^2=EG^2+FG^2-2\cdot EG\cdot FG\cdot \cos 60^\circ $$
$$ EF^2=8^2+6{,}5^2-2\cdot 8\cdot 6{,}5\cdot \frac12 $$
$$ EF^2=64+42{,}25-52=54{,}25=\frac{217}{4}. $$

$$ EF=\sqrt{\frac{217}{4}}=\frac{\sqrt{217}}{2}\text{ см}. $$