Упр.214 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Проекцией прямоугольника $$ABCD$$ на плоскость $$\alpha$$ является квадрат $$ABC_1D_1$$. Вычислите угол $$\varphi$$ между плоскостью $$\alpha$$ и плоскостью прямоугольника $$ABCD$$, если $$AB:BC=1:2$$.

Так как $$AD \perp AB$$ и $$AD_1 \perp AB,$$ то угол между плоскостью прямоугольника $$ABCD$$ и плоскостью $$\alpha$$ равен углу между прямыми $$AD$$ и $$AD_1$$, то есть $$\angle DAD_1$$.

Обозначим меньшую сторону прямоугольника за $$x,$$ тогда большая сторона равна $$2x$$, поскольку $$AB:BC=1:2$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$DAD_1$$. В нём

$$\cos \angle DAD_1=\frac{AD_1}{AD}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}.$$

Следовательно,

$$\angle DAD_1=60^\circ.$$

Значит, угол между плоскостями $$ABCD$$ и $$\alpha$$ равен $$60^\circ$$.

Ответ: $$60^\circ$$.