Упр.213 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Правильные треугольники $$ABC$$ и $$DBC$$ расположены так, что вершина $$D$$ проектируется в центр треугольника $$ABC$$. Вычислите угол между плоскостями этих треугольников.

Обозначим сторону правильного треугольника $$ABC$$ через $$a$$. Тогда его радиус вписанной окружности равен

$$r=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$$

Пусть $$O$$ — центр треугольника $$ABC$$, а $$H$$ — основание перпендикуляра из точки $$D$$ на сторону $$BC$$. Так как $$\triangle DBC$$ — правильный, то $$DH$$ — высота этого треугольника, значит

$$BH=\frac{a}{2}, \qquad DB=a.$$

Из прямоугольного треугольника $$DHB$$ по теореме Пифагора получаем:

$$DH=\sqrt{DB^2-BH^2} =\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Так как $$DO \perp (ABC)$$, то $$DO \perp OH$$. Кроме того, $$OH \perp BC$$, а $$DH \perp BC$$, следовательно, угол $$\angle OHD$$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $$ABC$$ и $$DBC$$.

В треугольнике $$DHO$$ имеем:

$$OH=r=\frac{a\sqrt{3}}{6}, \qquad DH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Тогда

$$\cos \angle OHD=\frac{OH}{DH} =\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} =\frac{1}{3}.$$

Следовательно, угол между плоскостями равен

$$\angle(ABC,DBC)=\arccos\frac{1}{3}.$$

Ответ: $$\arccos\frac{1}{3}$$.