Упр.212 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точка C является проекцией точки D на плоскость треугольника ABC. Докажите, что площадь треугольника ABD равна s , где S — площадь треугольника ABC, а а — угол между плоскостями ABC и ABD.

Подробный ответ

Проведём высоту $$DH$$ треугольника $$ABD$$. Тогда $$DH \perp AB$$.

Так как точка $$C$$ — проекция точки $$D$$ на плоскость треугольника $$ABC$$, то $$DC \perp (ABC)$$, а значит $$DC \perp AB$$. Следовательно, прямая $$AB$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$DC$$ и $$CH$$, лежащим в плоскости $$DCH$$. По теореме о трёх перпендикулярах получаем $$CH \perp AB$$.

Значит, $$CH$$ — высота треугольника $$ABD$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$DCH$$. Угол $$\angle DHC$$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $$ABC$$ и $$ABD$$, поэтому

$$\angle DHC=\alpha.$$

В прямоугольном треугольнике $$DCH$$ имеем

$$\cos\alpha=\frac{CH}{DH},$$

откуда

$$DH=\frac{CH}{\cos\alpha}.$$

Тогда площадь треугольника $$ABD$$ равна

$$ S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot DH =\frac{1}{2}\cdot AB\cdot \frac{CH}{\cos\alpha} =\frac{1}{\cos\alpha}\cdot \frac{1}{2}\cdot AB\cdot CH. $$

Но $$\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CH=S_{ABC}=S$$, значит

$$S_{ABD}=\frac{S}{\cos\alpha}.$$