Упр.212 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Точка $$C$$ является проекцией точки $$D$$ на плоскость треугольника $$ABC$$. Докажите, что площадь треугольника $$ABD$$ равна $$s$$, где $$S$$ — площадь треугольника $$ABC$$, а $$\alpha$$ — угол между плоскостями $$ABC$$ и $$ABD$$.

Проведём в треугольнике $$ABD$$ высоту $$DH$$, где $$H \in AB$$. Тогда по свойству ортогональной проекции и теореме о трёх перпендикулярах из условия $$CD \perp (ABC)$$ следует, что $$CH \perp AB$$. Значит, $$CH$$ — высота треугольника $$ABC$$.

Рассмотрим треугольник $$DCH$$. Угол $$\angle DHC$$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $$ABC$$ и $$ABD$$, поэтому

$$\angle DHC=\alpha.$$

Так как треугольник $$DCH$$ прямоугольный, то

$$\cos \alpha=\frac{CH}{DH}, \qquad DH=\frac{CH}{\cos \alpha}.$$

Теперь найдём площадь треугольника $$ABD$$:

$$S_{ABD}=\frac{1}{2}\,AB\cdot DH =\frac{1}{2}\,AB\cdot \frac{CH}{\cos \alpha} =\frac{1}{\cos \alpha}\cdot \frac{1}{2}\,AB\cdot CH.$$

Но

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\,AB\cdot CH=S,$$

следовательно,

$$S_{ABD}=\frac{S}{\cos \alpha}.$$

Ответ: $$S_{ABD}=\frac{S}{\cos \alpha}$$.