Упр.210 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

На рисунке 69 двугранные углы $$HABP$$ и $$PABQ$$ равны. Докажите, что каждая точка плоскости $$ABP$$ равноудалена от плоскостей $$ABH$$ и $$ABQ$$.

Возьмём любую точку $$X \in ABP$$. Проведём через точку $$X$$ плоскость $$\alpha$$, перпендикулярную прямой $$AB$$.

Обозначим:

• $$K = \alpha \cap ABH$$,
• $$M = \alpha \cap ABQ$$,
• $$T = \alpha \cap ABP$$.

Тогда в плоскости $$\alpha$$ получаем два треугольника $$\triangle KTX$$ и $$\triangle MTX$$. У них:

• $$TX$$ — общая сторона;
• $$\angle KTX = \angle XTM$$ как линейные углы двугранных углов $$HABP$$ и $$PABQ$$;
• по условию $$\angle HABP = \angle PABQ$$, значит соответствующие углы при прямой $$AB$$ равны.

Следовательно, $$\triangle KTX \cong \triangle MTX$$, откуда

$$KT = TM.$$

Но $$KT$$ и $$TM$$ — это расстояния от точки $$X$$ до плоскостей $$ABH$$ и $$ABQ$$ соответственно. Значит, эти расстояния равны.

Итак, каждая точка плоскости $$ABP$$ равноудалена от плоскостей $$ABH$$ и $$ABQ$$.

Ответ

Для любой точки $$X \in ABP$$ расстояния от $$X$$ до плоскостей $$ABH$$ и $$ABQ$$ равны.