Упр.210 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Ha рисунке 69 двугранные углы HABP и PABQ равны. Докажите, что каждая точка плоскости ABP равноудалена от плоскостей ABH и ABQ.
Возьмём произвольную точку $$X \in ABP$$. Проведём через точку $$X$$ плоскость $$\alpha$$, перпендикулярную прямой $$AB$$.
Пусть $$K=\alpha \cap AB$$. Тогда в плоскости $$\alpha$$ лежат отрезки $$XK$$, $$KT$$ и $$KM$$, где $$T \in ABH$$, $$M \in ABQ$$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $$X$$ на плоскости $$ABH$$ и $$ABQ$$ соответственно.
Так как плоскости $$ABH$$ и $$ABQ$$ образуют равные двугранные углы с плоскостью $$ABP$$, то линейные углы этих двугранных углов равны. Следовательно, в плоскости $$\alpha$$ углы
$$\angle KTX=\angle KTM,\qquad \angle KMX=\angle KMT$$
равны как соответствующие линейные углы равных двугранных углов.
Рассмотрим треугольники $$\triangle KTX$$ и $$\triangle KMX$$. У них:
- $$KX$$ — общая сторона;
- $$\angle KTX=\angle KMX$$;
- $$\angle KXT=\angle KXM$$, так как обе эти прямые перпендикулярны $$AB$$ в плоскости $$\alpha$$.
Значит, $$\triangle KTX \cong \triangle KMX$$, откуда
$$XT=XM.$$
Но $$XT$$ и $$XM$$ — это расстояния от точки $$X$$ до плоскостей $$ABH$$ и $$ABQ$$. Следовательно, они равны.
Так как точка $$X$$ была выбрана произвольно, то каждая точка плоскости $$ABP$$ равноудалена от плоскостей $$ABH$$ и $$ABQ$$.
Ответ
Для любой точки $$X \in ABP$$ расстояния от неё до плоскостей $$ABH$$ и $$ABQ$$ равны.