Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.21 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Окружности радиусов $$2$$ и $$4$$ касаются в точке В. Через точку В проведена прямая, пересекающая меньшую окружность в точке А, а большую — в точке С (А и С отличны от В). Найдите отрезок ВС, если $$AC=3\sqrt{2}$$.

Треугольники $$\triangle O_1BC$$ и $$\triangle ABO_2$$ подобны, так как

$$\angle O_1BC=\angle ABO_2,\qquad \angle O_1CB=\angle BAO_2.$$

Действительно, точки $$O_1, B, O_2$$ лежат на одной прямой, а точки $$A, B, C$$ — на другой.

Из подобия получаем

$$\frac{AB}{BC}=\frac{O_2B}{O_1B}=\frac{2}{4}=\frac12,$$

значит,

$$AB=\frac12\,BC.$$

По условию

$$AC=AB+BC=3\sqrt2.$$

Тогда

$$\frac12\,BC+BC=3\sqrt2,$$

$$\frac32\,BC=3\sqrt2,$$

$$BC=3\sqrt2\cdot\frac23=2\sqrt2.$$

Ответ

$$2\sqrt2$$