Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.21 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В правильной шестиугольной пирамиде $$SABCDEF$$ сторона основания равна $$1$$, а боковое ребро равно $$2$$. Найдите косинус угла между прямой $$AC$$ и плоскостью $$SAF$$.

Рассмотрим правильную шестиугольную пирамиду $$SABCDEF$$. Пусть $$O$$ — центр основания, $$H$$ — середина ребра $$AF$$, $$G$$ — середина диагонали $$AC$$.

Найдём сначала диагональ основания:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos 120^\circ$$

Так как $$AB=BC=1$$, то

$$AC^2=1+1-2\cdot 1\cdot 1\cdot \left(-\frac12\right)=3,$$

значит, $$AC=\sqrt3$$.

В равнобедренном треугольнике $$SFA$$ имеем $$SA=SF=2$$, а $$H$$ — середина $$AF$$, поэтому $$SH\perp AF$$ и

$$AH=\frac{AF}{2}=\frac12.$$

Тогда

$$SH=\sqrt{SA^2-AH^2}=\sqrt{4-\frac14}=\frac{\sqrt{15}}{2}.$$

В правильном шестиугольнике центр $$O$$ лежит на середине диагонали $$AC$$, значит

$$OH=\frac12\,AC=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$SHO$$. Угол между прямой $$AC$$ и плоскостью $$SAF$$ равен углу между прямой $$AC$$ и её ортогональной проекцией на плоскость $$SAF$$, то есть углу между $$AC$$ и $$HO$$. Поэтому

$$\cos\varphi=\frac{OH}{SH}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{2}}=\frac{\sqrt3}{\sqrt{15}}=\frac1{\sqrt5}.$$

Ответ: $$\frac1{\sqrt5}$$.