Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.21 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Окружности радиусов 2 и 4 касаются в точке В. Через точку В проведена прямая, пересекающая меньшую окружность в точке А, а большую — в точке С (А и С отличны от В), Найдите отрезок ВС, если AC=3v2.

Обозначим центры окружностей через $$O_1$$ и $$O_2$$. Тогда $$O_1B=4$$, $$O_2B=2$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle O_1BC$$ и $$\triangle ABO_2$$.

Так как радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны общей касательной, а точки $$A, B, C$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle O_1BC=\angle ABO_2,\qquad \angle O_1CB=\angle BAO_2.$$

Следовательно, $$\triangle O_1BC \sim \triangle ABO_2$$.

Из подобия получаем отношение соответствующих сторон:

$$\frac{AB}{BC}=\frac{O_2B}{O_1B}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$$

Значит,

$$AB=\frac{1}{2}BC.$$

По условию

$$AC=AB+BC=3\sqrt{2}.$$

Подставим выражение для $$AB$$:

$$\frac{1}{2}BC+BC=3\sqrt{2}$$

$$\frac{3}{2}BC=3\sqrt{2}$$

$$BC=3\sqrt{2}\cdot \frac{2}{3}=2\sqrt{2}.$$

Ответ

$$2\sqrt{2}$$