Упр.209 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Углы между равными отрезками AB и AC и плоскостью а, проходящей через точку А, равны соответственно 40° и 50°. Сравните расстояния от точек B и C до плоскости а.

Подробный ответ

Пусть $$B_1$$ и $$C_1$$ — основания перпендикуляров, опущенных из точек $$B$$ и $$C$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда $$BB_1$$ и $$CC_1$$ — искомые расстояния от точек $$B$$ и $$C$$ до плоскости $$\alpha$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABB_1$$ и $$ACC_1$$. Так как $$AB=AC$$, то

$$BB_1=AB\cdot \sin \angle BAB_1=AB\cdot \sin 40^\circ,$$

$$CC_1=AC\cdot \sin \angle CAC_1=AC\cdot \sin 50^\circ.$$

Поскольку $$AB=AC$$, сравним только синусы углов:

$$\sin 50^\circ > \sin 40^\circ.$$

Значит,

$$CC_1>BB_1.$$

Следовательно, расстояние от точки $$C$$ до плоскости $$\alpha$$ больше расстояния от точки $$B$$ до этой плоскости.