Упр.207 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B треугольнике ABC дано: AB = BC = 13 см, AC = 10 см. Точка M удалена от прямых AB, BC и AC на 8^ см. Найдите расстояние от O точки M до плоскости ABC, если ее проекция на эту плоскость лежит внутри треугольника.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — проекция точки $$M$$ на плоскость $$ABC$$. Так как точка $$M$$ равноудалена от прямых $$AB$$, $$BC$$ и $$AC$$, то её проекция $$O$$ равноудалена от этих прямых в плоскости треугольника. Значит, $$O$$ — центр вписанной окружности треугольника $$ABC$$, а

$$OD=OE=OF=r,$$

где $$r$$ — радиус вписанной окружности, а $$D,E,F$$ — основания перпендикуляров из $$O$$ на стороны $$BC, AC, AB$$ соответственно.

Найдём радиус вписанной окружности треугольника $$ABC$$. Полупериметр:

$$p=\frac{13+13+10}{2}=18.$$

По формуле Герона площадь треугольника:

$$ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{18\cdot 5\cdot 5\cdot 8}=60. $$

Тогда

$$r=\frac{S}{p}=\frac{60}{18}=\frac{10}{3}\text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$MDO$$. По условию $$MD=8\frac{2}{3}\text{ см}=\frac{26}{3}\text{ см}$$, а $$OD=r=\frac{10}{3}\text{ см}$$. Тогда по теореме Пифагора:

$$ MO=\sqrt{MD^2-OD^2} =\sqrt{\left(\frac{26}{3}\right)^2-\left(\frac{10}{3}\right)^2} =\frac{1}{3}\sqrt{26^2-10^2} =\frac{1}{3}\sqrt{576} =8\text{ см}. $$