Упр.207 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В треугольнике $ABC$ дано: $$AB=BC=13\text{ см},\quad AC=10\text{ см}.$$ Точка $M$ удалена от прямых $AB$, $BC$ и $AC$ на $$8\text{ см}.$$ Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$, если её проекция на эту плоскость лежит внутри треугольника.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — проекция точки $$M$$ на плоскость $$ABC$$. Тогда расстояния от точки $$M$$ до прямых $$AB$$, $$BC$$ и $$AC$$ равны соответственно

$$MD=ME=MF=8\frac{2}{3}\text{ см},$$

где $$D\in BC,$$ $$E\in AC,$$ $$F\in AB,$$ а $$MD\perp BC,$$ $$ME\perp AC,$$ $$MF\perp AB.$$

Рассмотрим треугольники $$MOD,$$ $$MOE,$$ $$MOF.$$ Они прямоугольные, у них общий катет $$MO$$ и равные гипотенузы $$MD=ME=MF$$. Значит,

$$OD=OE=OF.$$

Следовательно, точка $$O$$ равноудалена от сторон треугольника $$ABC$$, то есть является центром вписанной окружности. Тогда $$OD=OE=OF=r$$ — радиус вписанной окружности треугольника $$ABC$$.

Найдём $$r$$. Полупериметр треугольника:

$$p=\frac{13+13+10}{2}=18.$$

По формуле Герона:

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{18\cdot(18-13)\cdot(18-13)\cdot(18-10)}$$

$$S=\sqrt{18\cdot5\cdot5\cdot8}=\sqrt{3600}=60.$$

Тогда

$$r=\frac{S}{p}=\frac{60}{18}=\frac{10}{3}\text{ см}.$$

Теперь из прямоугольного треугольника $$MOD$$:

$$MO=\sqrt{MD^2-OD^2} =\sqrt{\left(8\frac{2}{3}\right)^2-\left(\frac{10}{3}\right)^2} =\sqrt{\left(\frac{26}{3}\right)^2-\left(\frac{10}{3}\right)^2}$$

$$MO=\frac{1}{3}\sqrt{26^2-10^2} =\frac{1}{3}\sqrt{576} =8\text{ см}.$$

Ответ: $$8\text{ см}.$$