Упр.206 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Стороны треугольника равны $$17\ \text{см}$$, $$15\ \text{см}$$ и $$8\ \text{см}$$. Через вершину $$A$$ меньшего угла треугольника проведена прямая $$AM$$, перпендикулярная к его плоскости. Определите расстояние от точки $$M$$ до прямой, содержащей меньшую сторону треугольника, если известно, что $$AM = 20\ \text{см}$$.

Подробный ответ

Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$A$$ на прямую $$BC$$. Тогда $$AH \perp BC$$, то есть $$AH$$ — высота треугольника $$ABC$$.

Найдём площадь треугольника $$ABC$$ по формуле Герона:

$$p=\frac{17+15+8}{2}=20$$
$$S_{ABC}=\sqrt{p(p-17)(p-15)(p-8)}=\sqrt{20\cdot 3\cdot 5\cdot 12} =\sqrt{3600}=60\ \text{см}^2$$

С другой стороны,

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BC \cdot AH$$
$$60=\frac{1}{2}\cdot 8 \cdot AH$$
$$AH=15\ \text{см}$$

Так как $$AM \perp (ABC)$$, то $$AM \perp AH$$. Следовательно, треугольник $$AMH$$ прямоугольный, и по теореме Пифагора:

$$MH=\sqrt{AM^2+AH^2}=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{625}=25\ \text{см}$$

Ответ: $$25\ \text{см}$$.