Упр.205 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Через вершину $$C$$ прямого угла прямоугольного треугольника $$ABC$$ проведена прямая $$CD$$, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите площадь треугольника $$ABD$$, если $$CA=3\ \text{дм}$$, $$CB=2\ \text{дм}$$, $$CD=1\ \text{дм}$$.

Подробный ответ

Так как $$CD \perp (ABC),$$ то прямая $$CD$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$ABC,$$ проходящей через точку $$C.$$ Поэтому треугольники $$ACD$$ и $$BCD$$ прямоугольные.

Найдём их гипотенузы по теореме Пифагора:

$$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10},$$
$$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}.$$

Кроме того, в прямоугольном треугольнике $$ABC$$

$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}.$$

Теперь найдём площадь треугольника $$ABD$$ по формуле Герона. Полупериметр:

$$p=\frac{AB+AD+BD}{2}=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{10}+\sqrt{5}}{2}.$$

$$S_{ABD}=\sqrt{p(p-AB)(p-AD)(p-BD)}.$$

Подставим значения:

$$S_{ABD}=\sqrt{ \frac{\sqrt{13}+\sqrt{10}+\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{13}+\sqrt{10}-\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{13}-\sqrt{10}+\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{-\sqrt{13}+\sqrt{10}+\sqrt{5}}{2} }.$$

После упрощения получаем:

$$S_{ABD}=\frac{7}{2}=3{,}5.$$

Ответ: $$3{,}5\ \text{дм}^2$$