Упр.204 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Прямая $$OM$$ перпендикулярна к плоскости правильного треугольника $$ABC$$ и проходит через центр $$O$$ этого треугольника, $$OM=a$$, $$\angle MCO=\varphi$$. Найдите:

а) расстояние от точки $$M$$ до каждой из вершин треугольника $$ABC$$ и до прямых $$AB$$, $$BC$$ и $$CA$$;

б) длину окружности, описанной около треугольника $$ABC$$;

в) площадь треугольника $$ABC$$.

Обозначим радиус описанной окружности треугольника $$ABC$$ через $$R$$, а сторону правильного треугольника — через $$x$$. Тогда для правильного треугольника

$$R=\frac{x}{\sqrt{3}}, \qquad S_{ABC}=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2, \qquad L=2\pi R.$$

Так как $$OM\perp (ABC)$$, то треугольник $$MCO$$ прямоугольный. Поэтому

$$\ctg\angle MCO=\frac{CO}{MO}=\frac{R}{a},$$

откуда

$$R=a\ctg\varphi.$$

Тогда расстояния от точки $$M$$ до вершин треугольника равны:

$$MA=MB=MC=\sqrt{MO^2+OA^2}=\sqrt{a^2+R^2}=\sqrt{a^2+a^2\ctg^2\varphi}=\frac{a}{\sin\varphi}.$$

Расстояние от точки $$M$$ до каждой стороны треугольника равно $$MH$$, где $$H$$ — основание перпендикуляра из $$M$$ на сторону. В прямоугольном треугольнике $$MCO$$ имеем

$$MH=MO\cdot \cos\varphi=a\cos\varphi,$$

но удобнее выразить его через радиус вписанной окружности правильного треугольника:

$$r=\frac{R}{2}=\frac{a\ctg\varphi}{2},$$

и тогда

$$MH=\sqrt{a^2+r^2}=\sqrt{a^2+\left(\frac{a\ctg\varphi}{2}\right)^2}=a\sqrt{1+\frac{\ctg^2\varphi}{4}}.$$

Следовательно,

$$d(M,AB)=d(M,BC)=d(M,CA)=a\sqrt{1+\frac{\ctg^2\varphi}{4}}.$$

Длина окружности, описанной около треугольника $$ABC$$:

$$L=2\pi R=2\pi a\ctg\varphi.$$

Площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2\ctg^2\varphi.$$

Ответ: $$MA=MB=MC=\frac{a}{\sin\varphi},$$ $$d(M,AB)=d(M,BC)=d(M,CA)=a\sqrt{1+\frac{\ctg^2\varphi}{4}},$$ $$L=2\pi a\ctg\varphi,$$ $$S_{ABC}=\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2\ctg^2\varphi.$$