Упр.203 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Через центр O окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая OK, перпендикулярная к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки K до сторон треугольника, если AB = BC = 10 см, AC = 12 см, OK = 4 см.

Так как $$OK \perp (ABC)$$, то прямая $$OK$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$ABC$$, проходящей через точку $$O$$. Пусть $$D, E, F$$ — основания перпендикуляров из точки $$O$$ на стороны $$AC, AB, BC$$ соответственно.

Тогда $$OD \perp AC$$, $$OE \perp AB$$, $$OF \perp BC$$, а треугольники $$KOD$$, $$KOE$$ и $$KOF$$ прямоугольные. Кроме того, так как $$O$$ — центр вписанной окружности, то $$OD = OE = OF = r$$, где $$r$$ — радиус вписанной окружности.

Следовательно, расстояния от точки $$K$$ до сторон треугольника равны:

$$KD=\sqrt{OK^2+OD^2}, \quad KE=\sqrt{OK^2+OE^2}, \quad KF=\sqrt{OK^2+OF^2}.$$

Так как $$OD=OE=OF$$, то все эти расстояния одинаковы. Найдём радиус $$r$$ вписанной окружности треугольника $$ABC$$.

Полупериметр треугольника:

$$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{10+10+12}{2}=16.$$

По формуле Герона:

$$ S_{ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} \\ S_{ABC}=\sqrt{16\cdot 6\cdot 6\cdot 4}=48. $$

С другой стороны, площадь треугольника выражается через радиус вписанной окружности:

$$S_{ABC}=rp,$$

откуда

$$r=\frac{S_{ABC}}{p}=\frac{48}{16}=3\text{ см}.$$

Теперь найдём расстояние от точки $$K$$ до любой стороны треугольника:

$$ KD=\sqrt{OK^2+r^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\text{ см}. $$

Значит, расстояния от точки $$K$$ до всех сторон треугольника $$ABC$$ равны $$5$$ см.

Ответ

$$5\text{ см}$$