Упр.203 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через центр $$O$$ окружности, вписанной в треугольник $$ABC$$, проведена прямая $$OK$$, перпендикулярная к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки $$K$$ до сторон треугольника, если $$AB=BC=10\text{ см}$$, $$AC=12\text{ см}$$, $$OK=4\text{ см}$$.

Так как $$OK \perp (ABC),$$ то для любой стороны треугольника $$ABC$$ расстояние от точки $$K$$ до этой стороны находится по теореме Пифагора через расстояние от точки $$O$$ до стороны и отрезок $$OK$$.

Точка $$O$$ — центр вписанной окружности, значит расстояния от $$O$$ до сторон треугольника равны радиусу вписанной окружности $$r$$.

Найдём $$r$$ для треугольника $$ABC$$. Полупериметр:

$$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{10+10+12}{2}=16.$$

По формуле Герона:

$$S=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} =\sqrt{16\cdot 6\cdot 6\cdot 4}=48.$$

С другой стороны, $$S=pr$$, значит

$$r=\frac{S}{p}=\frac{48}{16}=3\text{ см}.$$

Теперь расстояние от точки $$K$$ до любой стороны треугольника равно

$$\sqrt{OK^2+r^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\text{ см}.$$

Ответ: $$5\text{ см}$$.