Упр.202 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точка удалена от каждой из вершин прямоугольного треугольника на расстояние 10 см. Ha каком расстоянии от плоскости треугольника находится эта точка, если медиана, проведенная к гипотенузе, равна 5 см?

Подробный ответ

Обозначим плоскость треугольника через $$\alpha$$. Так как $$SA=SB=10\text{ см}$$, то треугольник $$ASB$$ равнобедренный. По условию медиана $$SM$$ проведена к основанию $$AB$$, значит в равнобедренном треугольнике она является и высотой:

$$SM \perp AB.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Поэтому

$$CM=AM=BM=5\text{ см}.$$

Точка $$M$$ лежит на прямой $$AB$$, а значит $$SM \perp AB$$ и, следовательно, $$SM \perp \alpha$$, так как прямая $$AB$$ лежит в плоскости $$\alpha$$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ASM$$. По теореме Пифагора:

$$ SM=\sqrt{SA^2-AM^2}=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}\text{ см}. $$

Значит, расстояние от точки до плоскости треугольника равно $$5\sqrt{3}\text{ см}$$.