Упр.202 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точка удалена от каждой из вершин прямоугольного треугольника на расстояние 10 см. На каком расстоянии от плоскости треугольника находится эта точка, если медиана, проведённая к гипотенузе, равна 5 см?

Так как $$SA=SB=SC=10\text{ см},$$ то точка $$S$$ равноудалена от вершин треугольника $$ABC.$$ Следовательно, она лежит на прямой, перпендикулярной плоскости $$\alpha$$ треугольника и проходящей через центр описанной окружности треугольника.

Поскольку $$\triangle ABC$$ прямоугольный, его центр описанной окружности — середина гипотенузы $$AB.$$ Обозначим эту точку через $$M.$$ Тогда $$CM$$ — медиана к гипотенузе, а значит

$$AM=BM=CM=5\text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$SMA$$. По теореме Пифагора:

$$SM=\sqrt{SA^2-AM^2}=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}\text{ см}.$$

Значит, расстояние от точки $$S$$ до плоскости треугольника равно $$5\sqrt{3}\text{ см}.$$

Ответ: $$5\sqrt{3}\text{ см}.$$