Упр.201 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите угол между скрещивающимися прямыми $$AB$$ и $$PQ$$, если точки $$P$$ и $$Q$$ равноудалены от концов отрезка $$AB$$.
Пусть $$M$$ — середина отрезка $$AB$$, то есть $$MA=MB$$.
Рассмотрим треугольники $$AQB$$ и $$APB$$. По условию $$QA=QB$$ и $$PA=PB$$, значит, оба треугольника равнобедренные с основанием $$AB$$.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой. Поэтому
$$QM \perp AB,\qquad PM \perp AB.$$
Через точку $$M$$ к прямой $$AB$$ можно провести единственную плоскость, содержащую две пересекающиеся прямые $$QM$$ и $$PM$$. Обозначим эту плоскость через $$\alpha$$. Тогда прямая $$PQ$$ лежит в плоскости $$\alpha$$, а прямая $$AB$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости, следовательно,
$$AB \perp \alpha.$$
Значит, $$AB$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$\alpha$$, в частности прямой $$PQ$$. Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми $$AB$$ и $$PQ$$ равен
$$\angle(AB,PQ)=90^\circ.$$
Ответ: $$90^\circ$$.
