Упр.200 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что любая точка прямой, которая проходит через центр окружности, описанной около многоугольника, и перпендикулярна к плоскости многоугольника, равноудалена от вершин этого многоугольника.

Пусть $$A_1A_2\dots A_n$$ — многоугольник, $$O$$ — центр описанной около него окружности, а прямая $$l$$ проходит через точку $$O$$ и перпендикулярна плоскости многоугольника. Возьмём любую точку $$B$$ на прямой $$l$$.

Так как $$O$$ — центр описанной окружности, то для всех $$i=1,2,\dots,n$$

$$OA_i=R,$$

где $$R$$ — радиус описанной окружности.

Поскольку $$l \perp$$ плоскости многоугольника и $$OA_i$$ лежит в этой плоскости, то

$$BO \perp OA_i$$ для всех $$i=1,2,\dots,n.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$BOA_i$$. У них:

• общий катет $$BO$$;
• второй катет $$OA_i=R$$ для всех $$i$$;
• прямой угол при $$O$$.

Следовательно, все треугольники $$BOA_1, BOA_2, \dots, BOA_n$$ равны по двум катетам. Значит, их гипотенузы равны:

$$BA_1=BA_2=\dots=BA_n.$$

Итак, любая точка прямой, проходящей через центр описанной окружности и перпендикулярной плоскости многоугольника, равноудалена от всех его вершин.

Ответ

$$BA_1=BA_2=\dots=BA_n.$$