Упр.200 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что любая точка прямой, которая проходит через центр окружности, описанной около многоугольника, и перпендикулярна к плоскости многоугольника, равноудалена от вершин этого многоугольника.
Пусть $$A_1A_2\dots A_n$$ — многоугольник, лежащий в плоскости $$\alpha$$, $$O$$ — центр описанной около него окружности, а прямая $$l$$ проходит через точку $$O$$ и перпендикулярна плоскости $$\alpha$$. Возьмём любую точку $$B$$ на прямой $$l$$.
Так как $$O$$ — центр описанной окружности, то для всех $$i=1,2,\dots,n$$
$$OA_i=R,$$
где $$R$$ — радиус описанной окружности.
Поскольку $$l \perp \alpha$$ и точки $$O, A_i$$ лежат в плоскости $$\alpha$$, то
$$BO \perp OA_i$$
для всех $$i=1,2,\dots,n$$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle BOA_1, \triangle BOA_2, \dots, \triangle BOA_n$$. У них:
- общий катет $$BO$$;
- второй катет $$OA_i=R$$ для всех $$i$$;
- прямой угол при $$O$$.
Следовательно, все эти треугольники равны по двум катетам. Значит, их гипотенузы равны:
$$BA_1=BA_2=\dots=BA_n.$$
Итак, любая точка прямой, проходящей через центр описанной окружности и перпендикулярной плоскости многоугольника, равноудалена от всех его вершин.
Ответ
$$BA_1=BA_2=\dots=BA_n.$$