Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.20 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Окружности с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$ пересекаются в точках $$A$$ и $$B$$. Известно, что $$\angle AO_1B=90^\circ$$, $$\angle AO_2B=60^\circ$$ и $$O_1O_2=a$$. Найдите радиусы окружностей.

Рассмотрим треугольник $$AO_1O_2.$$ Так как точки $$A$$ и $$B$$ — точки пересечения окружностей, то $$O_1A=O_1B$$ и $$O_2A=O_2B$$.

Из условия $$\angle AO_1B=90^\circ$$, значит в равнобедренном треугольнике $$AO_1B$$

$$\angle AO_1O_2=\frac12\angle AO_1B=45^\circ.$$

Аналогично, из $$\angle AO_2B=60^\circ$$ получаем

$$\angle AO_2O_1=\frac12\angle AO_2B=30^\circ.$$

Тогда

$$\angle O_1AO_2=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ.$$

Обозначим $$O_1A=r_1,$$ $$O_2A=r_2.$$ По теореме синусов в треугольнике $$AO_1O_2$$:

$$\frac{O_1O_2}{\sin \angle O_1AO_2}=\frac{O_1A}{\sin \angle AO_2O_1}=\frac{O_2A}{\sin \angle AO_1O_2}.$$

Подставим известные значения:

$$\frac{a}{\sin 105^\circ}=\frac{r_1}{\sin 30^\circ}=\frac{r_2}{\sin 45^\circ}.$$

Найдём $$\sin 105^\circ$$:

$$\sin 105^\circ=\sin(60^\circ+45^\circ)=\sin 60^\circ\cos 45^\circ+\sin 45^\circ\cos 60^\circ =\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 =\frac{\sqrt2(1+\sqrt3)}{4}.$$

Тогда

$$r_1=a\cdot\frac{\sin 30^\circ}{\sin 105^\circ} =a\cdot\frac{\frac12}{\frac{\sqrt2(1+\sqrt3)}{4}} =\frac{a\sqrt2}{1+\sqrt3},$$

$$r_2=a\cdot\frac{\sin 45^\circ}{\sin 105^\circ} =a\cdot\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2(1+\sqrt3)}{4}} =\frac{2a}{1+\sqrt3}.$$

Ответ: $$\frac{a\sqrt2}{1+\sqrt3}$$ и $$\frac{2a}{1+\sqrt3}.$$