Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.20 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В правильной шестиугольной пирамиде $$SABCDEF$$ сторона основания равна $$1$$, а боковое ребро равно $$2$$. Найдите косинус угла между прямыми $$SB$$ и $$AE$$.

Рассмотрим правильный шестиугольник $$ABCDEF$$ со стороной $$1$$. Тогда диагональ $$BD$$ найдём по теореме косинусов в треугольнике $$BCD$$:

$$BD^2=BC^2+CD^2-2\cdot BC\cdot CD\cos\angle BCD$$
$$BD^2=1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos 120^\circ=2-2\cdot\left(-\frac12\right)=3$$
$$BD=\sqrt3$$

Так как пирамида правильная, то боковые рёбра равны, значит $$SB=SD=2.$$ В треугольнике $$SBD$$ отрезок $$SH$$ — высота, а в равнобедренном треугольнике она также является медианой, поэтому $$BH=\frac{BD}{2}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$SBH$$:

$$\cos\angle SBH=\frac{BH}{SB}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{2}=\frac{\sqrt3}{4}$$

Ответ: $$\frac{\sqrt3}{4}$$