Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.20 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2. Найдите косинус угла между прямыми SB и АЕ.

Обозначим через $$H$$ середину диагонали $$BD$$. Тогда в равнобедренном треугольнике $$SBD$$ имеем $$SB=SD$$, а значит, высота $$SH$$ к основанию $$BD$$ является также медианой: $$BH=HD$$ и $$SH\perp BD$$.

Найдём длину диагонали $$BD$$ правильного шестиугольника со стороной $$1$$. В треугольнике $$BCD$$ по теореме косинусов:

$$ BD^2=BC^2+CD^2-2\cdot BC\cdot CD\cos\angle BCD $$

Так как $$BC=CD=1$$, а $$\angle BCD=120^\circ$$, то

$$ BD^2=1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos 120^\circ =2-2\cdot\left(-\frac12\right)=3, $$

следовательно,

$$BD=\sqrt{3}.$$

Тогда

$$BH=\frac{BD}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$SBH$$ угол между прямыми $$SB$$ и $$AE$$ равен углу между $$SB$$ и $$BH$$, так как в правильном шестиугольнике прямая $$AE$$ параллельна диагонали $$BD$$. Поэтому

$$ \cos\angle(SB,AE)=\cos\angle SBH=\frac{BH}{SB} =\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2} =\frac{\sqrt{3}}{4}. $$

Ответ

$$\frac{\sqrt{3}}{4}$$