Подготовка к ЕГЭ Задание 3 Упр.20 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Периметр прямоугольника равен $$34$$, а площадь равна $$60$$. Найдите диагональ этого прямоугольника.

Обозначим стороны прямоугольника через $$AB$$ и $$AD$$. Тогда

$$S_{ABCD}=AB\cdot AD=60,$$
$$P_{ABCD}=2(AB+AD)=34,$$
откуда
$$AB+AD=17.$$

Пусть $$AD=x$$, тогда $$AB=\dfrac{60}{x}$$. Получаем уравнение

$$x+\frac{60}{x}=17,$$
$$x^2-17x+60=0.$$

Решим его:

$$D=17^2-4\cdot 60=289-240=49,$$
$$x_{1,2}=\frac{17\pm 7}{2}.$$

Следовательно, стороны прямоугольника равны $$5$$ и $$12$$.

Диагональ прямоугольника найдём по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике:

$$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13.$$

Ответ: $$13$$.